求比值

lrh2006

战巡

回复 1# lrh2006


连$PF$，显然由于$\angle FCP=90\du$，有$PF$为直径，然后$\angle FEP=90\du$

然后$\angle EDC=\angle GFE$，再加上那些垂直，易证$\Delta GCP\sim\Delta GFE\sim \Delta CDE$，于是有
\[\begin{cases}\frac{DE}{EF}=\frac{CE}{GE}\\\frac{GP}{CD}=\frac{CG}{CE}\end{cases}\]
这样就有
\[\frac{GP}{EF}=\frac{CG\cdot CD}{GE\cdot DE}\]
这里面$\frac{CD}{DE}=\frac{1}{\sin(\angle DCE)}=\frac{1}{\sin(\angle G)}$，也就有
\[\frac{GP}{EF}=\frac{CG}{GE\sin(\angle G)}\]
按正弦定理，会有
\[\frac{GE}{CE}=\frac{\sin(\angle GCE)}{\sin(\angle G)}\]
\[GE\sin(\angle G)=CE\sin(\angle GCE)\]
其中$CG=CB=\sqrt{17^2-15^2}=8$，$CE=\frac{15\cdot 8}{17}=\frac{120}{17}$，而
\[\sin(\angle GCE)=\sin(90\du+\angle BCE)=\cos(\angle BCE)=\frac{15}{17}\]
故此
\[\frac{GP}{EF}=\frac{8}{\frac{120}{17}\cdot\frac{15}{17}}=\frac{289}{225}\]

lrh2006

回复 2# 战巡

懂了，谢谢老师。忘了说这是初三的题目，能不能不用正弦定理诱导公式？对不起，我的要求是不是太多了