开凸集在线性映射下是开区间

abababa

命题一：设$V$是赋范空间$X$中的开凸集，泛函$f: X\to\mathbb{R}$是连续线性泛函且$f\neq0$，则$f(V)$是开区间。

上面的命题我已经证明了。但我想减弱一些条件，比如不要求$f$是连续映射，也不要求是赋范空间，变成下面的命题：
命题二：设$V$是拓扑线性空间$X$中的开凸集，泛函$f: X\to\mathbb{R}$是线性泛函且$f\neq0$，则$f(V)$是开区间。
这个要怎么证明呢？

我发一下我对命题一的证明：
因为$V$是凸集，所以$V$是道路连通的，而$f$是连续映射，所以$f(V)$是区间。
因为$f$不是零泛函，所以可以取$\hat{x}_0\in V$使得$f(\hat{x}_0)=c\neq0$，令$x_0=\frac{\hat{x}_0}{c}$，则$f(x_0)=\frac{1}{c}f(\hat{x}_0)=1$，显然$x_0 \neq 0$。
对任意的$p\in f(V)$，必定存在$a\in V$使得$f(a)=p$。因为$V$是开集而$a\in V$，所以$a$是$V$的内点，于是存在开球$B(a,r)$使得$B(a,r)\subseteq V$。考虑$a\pm\varepsilon x_0$，显然存在$\varepsilon > 0$使得只要$\varepsilon<\frac{r}{\|x_0\|}$就有$\|a\pm\varepsilon x_0-a\|=\varepsilon\|x_0\|<r$，因此$a\pm\varepsilon x_0\in B(a,r)\subseteq V$，所以$f(a\pm\varepsilon x_0)\in f(V)$，注意$f(x_0)=1$，于是
\[p\pm\varepsilon=f(a)\pm\varepsilon f(x_0)=f(a\pm\varepsilon x_0)\in f(V)\]

这样的话就有：$f(V)$是区间，且对任意的$p\in f(V)$都存在$\varepsilon>0$使得$p\pm\varepsilon\in f(V)$。假设区间$f(V)$包含左端点$s$，则$s-\varepsilon\not\in f(V)$，矛盾，同理区间$f(V)$不包含右端点，于是$f(V)$是开区间。

Czhang271828

1. $f(V)$ 为凸集. 对任意 $y_1,y_2\in f(V)$, 下证明对任意$\theta\in[0,1]$ 均有 $\theta y_1+(1-\theta) y_2\in f(V)$. 显然存在 $x_1,x_2\in V$ 使得 $f(x_i)=y_i$, 从而
\[
\theta y_1+(1-\theta)y_2=f(\theta x_1)+f((1-\theta) x_2)=f(\theta x_1+(1-\theta)x_2)\in f(V).
\]
2. $f(V)-0$ 为开集. 对任意 $y\in f(V)-0$, 存在 $x\in V$ 使得 $f(x)=y$. 由于 $x$ 为内点, 故穿越 $x$ 的直线 $l_x=\mathrm{Span}(x)=\{tx:t\in\mathbb R\}$ 必定在 $x$ 的开邻域内局部含于 $V$. 从而存在 $\varepsilon >0$ 使得 $(1\pm\varepsilon )x\in V$. 因此 $B_{\varepsilon\cdot  f(x)}\subset f(V)$.

3. 若 $0\in V$, 则 $0$ 为内点. 由于 $f(X)\neq \{0\}$, 故对任意 $r>0$ 均有 $f(B_r(0))\neq \{0\}$. 从而存在 $x_0\in B_1(0)$ 使得 $f(x_0)\neq 0$, 因此 $f(t x_0)=tf(x_0)$ 在 $t$ 取遍 $[-1,1]$ 时遍历 $[-|f(x_0)|,|f(x_0)|]$. 任取 $x\in V$ 使得 $f(x)=0$, 由于对足够小的 $\varepsilon>0$ 均有 $B_\varepsilon(x)\subset V$, 故 $\{f(x+tx_0):t\in(-\varepsilon,\varepsilon)\}$ 为包含 $0$ 的开集.

$\mathbb R$ 中凸开集为开区间. 证毕.

abababa

回复 2# Czhang271828

谢谢。根据2楼的提示，当$V$是凸集时$f(V)$也是凸集，因此$f(V)$是连通集，而$\mathbb{R}$中的连通集必定是区间，因此$f(V)$必定是区间。

根据网友的提示，还是能像命题1那样构造出一个$x_0$使得$f(x_0)=1$。

下面证明命题2：
对任意的$y\in f(V)$，必定存在$x\in V$使得$f(x)=y$，因为$V$是开集，所以$V$是$x$的一个邻域，根据拓扑线性空间的定义，对于$x=x+0$的邻域$V$，必定存在$x$的邻域$V_x$和$0$的邻域$V_0$，使得$V_x+V_0\subseteq V$，对于$0x_0=0$的邻域$V_0$，必定存在$r>0$和$x_0$的邻域$W$，使得只要$\abs{\beta-0}<r$就有$\beta W\subseteq V_0$，于是
\[x+\beta x_0\in V_x+\beta W\subseteq V_x+V_0\subseteq V\]

然后$y+\beta=f(x)+\beta f(x_0)=f(x+\beta x_0)\in f(V)$，令$\beta$遍历$(-r,r)$就有$(y-r,y+r)\subseteq f(V)$，即存在$y$的邻域$(y-r,y+r)\subseteq f(V)$，所以$y$是$f(V)$的内点，由$y$的任意性可知$f(V)$是开集。

这样的话$f(V)$既是区间又是开集，所以是开区间。