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以固定点为极点建立极坐标系,单位圆盘的中心为$(q,0)$,距离的平均记为$b(q)$.
$$b(0)=\int_{0}^{2 \pi} d θ \int_{0}^{1} r^{2} d r / \pi=\frac{2}{3} \simeq 0.66667$$
\begin{aligned} b(1)&=\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} d θ \int_{0}^{-2 \cos θ} r^2 d r / \pi \\ &=-\frac{8}{3 \pi} \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \cos ^{3} θ d θ=\frac{32}{9 \pi} \simeq 1.13177 \end{aligned}
当$q∈(0,1)$时,$θ$的范围是$[0,2π)$,
$$b(q) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \textrm{d}\theta \int_0^{s(\theta)} r^2 \textrm{d}r = \frac{1}{3\pi} \int_0^{2\pi} r(\theta)^3 \textrm{d}\theta.$$其中$s(θ)$通过余弦定理可以由$q,θ$表出.计算积分所需的步骤以及一些参考文献在 Lew 等人的论文中.
$$b(q) = \frac{4}{9\pi}\biggl\{ 4(q^2-1)K(q^2) + (q^2+7)E(q^2)\biggr\}$$
$K,E$分别是第一类,第二类完全椭圆积分.
当$q>1$时,$θ$的范围是$[-\csc^{-1}q,\csc^{-1}q]$,并且$r$的范围是$[s_-,s_+]$,其中$s_±$是下面的二次方程的根:$$s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0$$
en.wikipedia.org/wiki/Disk_(mathematics)#As_a … istical_distribution
On the Average Distances in a Circular Disc.pdf
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