坑爹的相切题(高一)

realnumber

初以为是小伙及同伴刷题时的一个遐想,
问题如下:
        方程$a^x=x$恰好有一解(常数a>1),求a的值.
毫不犹豫说"那有那么凑好的啊,解近似值?"
运算结果居然有$a=e^{\frac{1}{e}},x=e$.
"那不用导数怎么说明?"
"啥?不用导数,相切都不好表达,直接图像说明$y=a^x$随a变化情况,好吧,貌似也不行,怎么确定此时唯一解?"
"我们老师也说不用导数想不出?"
"好嘛,居然不先告诉我有解,先来考我了,坑爹啊 "
"我没想到这个"
"啥,居然不是有意坑爹,有些失望,我再想想"
毫无头绪啊.

isee

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如果是自己独立发现的还是敏锐的
高一会出现 $a^x=\log_ax{~},0<a<1$有几个交点的选择题，临界值也是 $\rm e^{1/{\rm e}}$,

力工

不用导数怎么行？明明就是偷用了的。可能说用不等式$e^x\geqslant ex$吧。这样，$a^x=e^{xlna}\geqslant exlna$，由只有一解，得$elna=1$，就是结果了？

realnumber

回复 3# 力工


    我也不明白，这个问题

战巡

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干嘛不用倒数？自找麻烦？