邻域基中的任一元都包含某一元的闭包

abababa

下文里红色的定理那个证明看不懂。我把书上的证明发一下：
书上首先是证明了一个定理：
设$K,C$是拓扑线性空间$X$的子集，其中$K$是紧致集，$C$是闭集，且$K\cap C=\varnothing$，则存在$0$的邻域$V$，使得
\[(K+V)\cap(C+V)=\varnothing\]

然后有推论：$\overline{(K+V)}\cap(C+V)=\varnothing$。
然后就说由此得以下定理：设$\mathscr{B}$是拓扑线性空间$X$在原点的邻域基，则对$\mathscr{B}$的每一元，都包含$\mathscr{B}$中某一元的闭包。

证明：任取$U\in\mathscr{B}$，则$CU$是闭集且$0\not\in CU$，取$K=\{0\}$，于是存在$V\in\mathscr{B}$，使得
\[(CU+V)\cap\overline{\{0\}+V}=\varnothing\]

所以$CU\cap\bar{V}=\varnothing$，即$\bar{V}\subseteq U$。这就证明了定理。

首先我不明白这里的$C$是什么，是和上面一样是一个闭集吗？但得证明确实存在这么一个闭集才行，如果取单点集（它这里的拓扑线性空间的定义要求就是单点集是闭集）是可以。然后$0$为什么不在$CU$里？首先$U$是原点的一个邻域，那就有$0\in U$，但这样的话不就是有$0\in CU$了吗？

Czhang271828

$CU:=X-U$.

紧致集 $\{0\}$ 对应上一定理中的 $K$, $CU$ 对应上一定理中的 $C$.

abababa

回复 2# Czhang271828
原来如此，补集用的这个符号，这么一说就明白了。