如图求正方形边长

isee

源自知乎提问

个人思路放2#

题：如图标记求正方形的边长.

isee

省时间不看版：Ptolemy + 正弦定理+等比性质，看方框式即可.

图 1 连接 AC 交 EF 于 H 则 H，G，C，E 四点共圆

如图 1，连接 $AC$ 交 $EF$ 如 $H$ 点，则依条件 $\angle HCG=45^\circ=\angle HFG$ 知 $H,G,C,F$ 四点共圆，于是 $HG\perp EF,$ 从而 $H,E,B,G$ 四点也共圆，则有 $\angle HBC=\angle HEG=60^\circ.$

设 $HF=HG=m$ 则在圆 $CFG$ 中由 Ptolemy 定理（并整理消去 $m$）得 $\sqrt 2 HC=4+GC,$ 同理在圆 $BGE$ 中有 $2 HB=3\sqrt 3+BG$. 将这两式相加得

\begin{align*} \sqrt 2 HC+2HB&=4+GC+3\sqrt 3+BG\\[1em]&=4+3\sqrt 3+BC. \end{align*}

另一方面在三角形 $HBC$ 中由正弦定理有 $\frac {HC}{\sin 60^\circ}=\frac {HB}{\sin 45^\circ}=\frac {BC}{\sin 75^\circ}$，则 $$\frac {\sqrt 2 HC}{\sqrt 2 \sin 60^\circ}=\frac {2 HB}{2 \sin 45^\circ}=\frac {BC}{\sin 75^\circ},$$ 再由等比性质有

$$\frac {\sqrt 2 HC+2HB}{\sqrt 2\sin 60^\circ+2\sin 45^\circ}=\boxed{\frac {4+3\sqrt 3+BC}{\sqrt 2\sin 60^\circ+2\sin 45^\circ}=\frac {BC}{\sin 75^\circ}},$$

在方框式中解出 $BC$，再由等比性质

$$\frac {4+3\sqrt 3}{\sqrt 2\sin 60^\circ+2\sin 45^\circ-\sin 75^\circ}=\frac {BC}{\sin 75^\circ},$$

所以 $$BC=\frac {(4+3\sqrt 3)\sin 75^\circ}{\sqrt 2\sin 60^\circ+2\sin 45^\circ-\sin 75^\circ}=\cdots$$

kuing

如图作垂线，则 `HF:HE=HG:HE=\sqrt3`，故
\[HI=\frac{FC+\sqrt3\cdot EB}{1+\sqrt3}=\frac{4+3\sqrt3}{1+\sqrt3},\]
设正方形边长为 `a`，则
\[\frac a{EF}=\frac{HI}{HG}\riff a=\frac{EF}{HG}\cdot HI=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt3}\cdot\frac{4+3\sqrt3}{1+\sqrt3}=\frac4{\sqrt3}+3.\]

PS、数据可一般化，以上方法也适用。

isee

回复 3# kuing

再一个垂直~~~将已知条件用到极致了，相对我的思路就运用知识太多了

isee

回复 3# kuing

启发下“，初中版

在图 1 中 $\triangle AEH \sim \triangle CFH$ 则 $AE=\frac {EH}{HF} \cdot FC=\frac 1{\sqrt 3}\cdot 4=\frac 4{\sqrt 3},$ 从而 $AB=3+\frac 4{\sqrt 3}.$

kuing

回复 5# isee

幸好没把 3# 复制过去那边……这样看简直太简单

isee

回复 6# kuing


话可不能这么说，关注点不同，方向也不同

kuing

再来一个：

如上图，作 `\triangle EFG` 的外接圆与 `BC` 交于 `H`，则
\begin{align*}
BC&=BH+HC\\
&=BE\cot\angle BHE+CF\cot\angle CHF\\
&=BE\cot\angle GFE+CF\cot\angle GEF,
\end{align*}
这就是一般结果，代原题数值，就是
\[BC=3\cot45\du+4\cot60\du=3+\frac4{\sqrt3}.\]
这个发过去应该可以

乌贼

如图：
\[ \dfrac{AE}{CF}=\dfrac{AN}{CN}=\dfrac{MB}{BC} \\\riff AE=\dfrac{CF\cdot MB}{BC}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\]所以\[ AB=AE+BE=3+\dfrac{4}{\sqrt{3}} \]

kuing

回复 9# 乌贼

looooong time no see