一道初中四边形常见经典题

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源自知乎提问



题：在四边形 $ABCD$ 中 $BC>AB$， $\angle BCD=60^\circ$， $AD=CD=6$，若对角线 $BD$ 恰好平分 $\angle ABC$，则 $BC-AB=$ _______.

记 $\angle ABD=\angle DBC=\alpha,$ 则由设知 $\angle CDB=120^\circ-\alpha.$

在 $\triangle ABD$，$\triangle BCD$ 中分别由正弦定理得，注意 $AD=CD$，

$$\frac {BD}{\sin A}=\frac {AD}{\sin \alpha}=\frac {CD}{\sin \alpha}=\frac {BD}{\sin 60^\circ}$$ 所以 $\sin A=\frac {\sqrt 3}2 $ 知 $A=120^\circ.$

( $\angle A\ne 60^\circ,$ 否则有 $\triangle ABD\cong \triangle CBD$ 与 $BC>AB$ 矛盾.)

此时知 $A,B,C,D$ 四点共圆，且有 $\angle BDA=60^\circ-\alpha,$ 从而在四边形外接圆中由正弦定理有

\begin{align*} BC-AB&=2R(\sin CDB-\sin BDA)\\[1em] &=2R(\sin(120^\circ-\alpha)-\sin(60^\circ-\alpha))\\[1em] {}\xlongequal{\small\text{和差化积}}&=2R\cdot 2\cos(90^\circ-\alpha)\sin 30^\circ\\[1em] &=2R\sin\alpha\\[1em] &=6. \end{align*}

其实，不作辅助线自然就是正弦定理与余弦定理了（这二者等价），不过，有点可惜的是中学阶段几乎全凭个人喜好去学习正弦定理，余弦定理在平面几何的应用…

乌贼

取$ BE=AB $得\[ \triangle ABD\cong \triangle EBD\riff DE=AD=CD \]又\[ \angle BCD=60\du  \]即$ \triangle DEC $为正三角形，所以\[ BC-AB=CE=CD=6 \]