这个不等式接下来怎么做？

baxiannv

\begin{aligned}
&\text { 题目 3.1.6. if } a, b, c>0 \text {, prove that }\\
&\sum \frac{a^2}{b^3+c^3} \geqslant \frac{3}{2 \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}}
\end{aligned}

我这个做法对吗 如果不对麻烦说明下理由

kuing

“需证 `\dfrac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{a^3+b^3+c^3}\geqslant\dfrac1{a+b+c}`”这个不成立，当其中一个变量趋向零时，左边趋向零而右边不趋向零。事实上，此式反向成立。

baxiannv

题目对的 应该是我缩过头了 但是我不知道怎么改

kuing

回复 3# baxiannv

第一步已经放过头，`\displaystyle\sum\frac{a^2}{b^3+c^3}\geqslant\frac92\cdot\frac1{a+b+c}` 这个并不成立，反例令 `b=c=1`, `a\to0`。

baxiannv

那该怎么做啊

kuing

？你的截图不是从我那电子书上截出来的嘛？书上有证明啊，后一题还有个加强（虽然我证得不太好）……

baxiannv

题目是同学发我的回复 6# kuing

baxiannv

之前想去电子书找 但你的电子书内容太多了 不好找啊回复 6# kuing

kuing

artofproblemsolving.com/community/c6h312828

baxiannv

这个帖子可以转中文吗回复 9# kuing

kuing

回复 10# baxiannv

用浏览器的翻译功能呗
其实也不用怎么看文字，看公式就行。

baxiannv

这个思路是怎么想到的啊 完全想不出回复 11# kuing

kuing

回复 12# baxiannv

不等式是齐次的，所以可以自行增加一个条件，这里设 a^3+b^3+c^3=3 就可以去掉麻烦的三次根式。
接下来就是切线法套路。

baxiannv

(7a^3-1)/12 这一步怎么都想不出=。=回复 13# kuing

kuing

回复 14# baxiannv

都说了是切线法……
let $a^3 = x$ 然后算 $\dfrac{x^{2/3}}{3-x}$ 在 x=1 处的切线