求问一个数论估计的背景

xcx

求证：存在正常数 $\lambda$ 使得不等式 $$lcm[a+x_1,\cdots,a+x_n,x_1,\cdots,x_n]\ge\lambda（a+\sum_{i=1}^nx_i）$$对于任意正整数 $n,a$ 和 $x_1,\cdots,x_n\in N_+$ 都成立

战巡

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证明存在没啥难度吧

假设$x_1\le x_2\le ...\le x_n$，那么
\[lcm[a+x_1,a+x_2,...,a+x_n]\ge a+x_n\]
这里只要令$\lambda=\frac{1}{n}$，就会有
\[\lambda(a+\sum_{i=1}^nx_i)\le \lambda (a+nx_n)=\frac{a}{n}+x_n<a+x_n\]

xcx

战巡 发表于 2022-4-23 01:49
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是我表述有锅