作三角形使外接圆心到内切圆心的中点位于一条边上

TSC999

求作一个非等腰的三角形 ABC，AB>AC，使其外接圆圆心 O 到内切圆圆心 I 的连线中点恰好位于 BC 边上。

战巡

回复 1# TSC999


如图

在保证$\angle A<108\du$的情况下，随便画一条弦$BC$，令弧$BC$中点为$A'$，其他连线如图

作$OH\perp BC$，并延长到$H'$，使得$OH=HH'$，过$H'$作$BC$平行线$l$

作$\Delta A'BC$的内心$I'$，而后过$B,C,I'$作圆弧
如此$l$和这个圆弧的交点，就是你想要的内心$I$点，再根据这个$I$点作三角形即可


至于为什么这样可以：
在给定$BC$的情况下，$\angle A$是定值，很容易得到$\angle BIC=180\du-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=180\du-\frac{1}{2}(\angle 180\du-\angle A)$，也是个定值，因此$I$点就是在那段圆弧上的点，而$l$上的点都有$OI$的中点在$BC$上，因此这两个的交点就是你想要的

至于为啥$\angle A<108\du$，因为$\angle A\ge 108\du$时，会变成$l$和圆弧没有交点或只有一个交点，这是不行的

hbghlyj

回复 1# TSC999

稍微计算发现
$$\cos(∠BAC)=\frac{b + c - a}{b + c - 2a}$$
即
$$2 a^3 - a^2 b - 2 a b^2 + b^3 - a^2 c + 2 a b c - b^2 c - 2 a c^2 -
b c^2 + c^3=0$$

hbghlyj

回复 2# 战巡

In[1]:=
          $\text{FullSimplify}\left[\text{Maximize}\left[\left\{\cos ^{-1}\left(\frac{b+c-a}{b+c-2 a}\right),2 a^3-a^2
   (b+c)+(b-c)^2 (b+c)-2 a \left(b^2-b c+c^2\right)=0,a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0\right\},\{a,b,c\}\right]\right]$
Out[1]:=
          $\left\{\frac{3 \pi }{5},\left\{a\to \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right),b\to 1,c\to 1\right\}\right\}$

$∠BAC≤{3π\over5}$,和2#一样

hbghlyj

回复 4# hbghlyj

我发现用$\tt  //HoldForm//TeXForm$导出的LaTeX代码中,双等号==变成了等号=

hbghlyj

$$\frac{\frac{b + c}a-1}{\frac{b + c}a-2}=\cos(∠BAC)∈(-1,1)⇒\frac{b + c}a<\frac32\label1\tag1$$
三角形的边长满足$2 a^3 - a^2 b - 2 a b^2 + b^3 - a^2 c + 2 a b c - b^2 c - 2 a c^2 -
b c^2 + c^3=0$
$$\implies\frac{1}{2} a \left(4 a^2-2 a b-b^2-2 a c-2 b
   c-c^2\right)=\frac{1}{2} (3 a-2 b-2 c) (b-c)^2>0\quad\text{使用题中条件$b≠c$,以及式}\eqref1$$
$$\implies4 a^2-2 a b-b^2-2 a c-2 b c-c^2>0$$
$$\implies\left(\frac{b+c}{a}\right)^2+2\frac{b+c}{a}-4<0$$
$$\implies\frac{b+c}a<\sqrt{5}-1$$
$$\implies\cos(∠BAC)=\frac{\frac{b + c}a-1}{\frac{b + c}a-2}>\frac{1-\sqrt5}4$$
$$\implies∠BAC<\frac{3π}5$$

TSC999

谢谢【战巡】的解答。经作图复核，您这个解答是完全正确的！

hbghlyj

作一个三角形(图中为细线)的内切圆$I$,外接圆$O$,作$OI$中点$D$,过$D$作圆$I$的切线交圆$O$于$B,C$,则$△ABC$符合要求.

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注:细线三角形需要使$D$在圆$I$外.

kuing

回复 8# hbghlyj

哈，彭赛列！

TSC999

2# 楼那个作图方法还可以简化如下：