来自人教群：抹掉箭头的几何题

kuing

鄂B爱好者羽林(3086*****)

把第六题变成 模PA+模PB
能做吗？

阅A爱好者色k(249533164)
这试卷是打印打漏了向量箭头了吧？

鄂B爱好者羽林(3086*****)
是学生自己想做作这个问题
探究一下啊，
最小值是存在，可能否求出来

鲁Q教师XYZ(3306*****)

这明显是故意把向量符号抹掉了！这种乱改题的做法，实在是不可取，坑人不浅哦

鄂B爱好者羽林(3086*****)
@鲁Q教师XYZ   是学生想探究一下这种折线段问题的计算

鲁Q教师XYZ(3306*****)
这样一改，就没有正确选项了

鄂B爱好者羽林(3086*****)
嗯

阅A爱好者色k(249533164)
@鲁Q教师XYZ   我估计也不是故意抹掉，只是软件出了点问题。
你看它前面 的次数 2 也没掉了一半

阅A爱好者色k(249533164)
圆心到直线 l 的距离为 3，重新建坐标系，使直线 l 为 x 轴，圆为 x^2+(y-3)^2=1，设 A(cos(t-60),3+sin(t-60))，B(cos(t+60),3+sin(t+60))，作 B 关于 x 轴的对称点 B'(cos(t+60),-3-sin(t+60))，问题变为求 |AB'| 的最小值，然后
\begin{align*}
\abs{AB'}&=\sqrt{\bigl( \cos(t-60\du)-\cos(t+60\du) \bigr)^2+\bigl( 6+\sin(t-60\du)+\sin(t+60\du) \bigr)^2}\\
&=\sqrt{(2\sin t\sin60\du)^2+(6+2\sin t\cos60\du)^2}\\
&=\sqrt{(2\sin t+3)^2+27}\\
&\geqslant\sqrt{28}.
\end{align*}

kuing

一般地，若 `\angle AOB=2\alpha`，圆心到直线距离为 `d`，则最后的配方式为 `\abs{AB'}=2\sqrt{(\sin t+d\cos\alpha)^2+(d\sin\alpha)^2}`。
因此若 `d\cos\alpha\geqslant1` 则当 `\sin t=-1` 时取最小值 `2\sqrt{1-2d\cos\alpha+d^2}`，否则最小值为 `2d\sin\alpha`。

kuing

用运动法来看：

当 A 在圆上运动时，由于 ∠AOB 恒定且 B 与 B' 对称，故 A 和 B' 的角速度大小相等。

考察这两点在 AB' 上的分速度可知，当 AB' 取极值时，必定是 OA、O'B' 与直线 AB' 所成夹角相等时。

夹角相等时，两圆心 O、O' 到直线 AB' 的距离相等，亦即 AB' 过 OO' 的中点！

显然当图形左右对称时是满足的（懒得画图了），此时 `AB'=2\sqrt{(\sin\alpha)^2+(d-\cos\alpha)^2}=2\sqrt{1-2d\cos\alpha+d^2}`。

而当两圆离得比较近时，AB' 过 OO' 中点除了左右对称的情况，还有以下情形：

记 OO' 中点为 M，如图，延长 MB' 至 M' 使 B'M' = AM。
易知 `\triangle O'B'M'\cong\triangle OAM`，得 `\angle MO'M'=\angle AOB=2\alpha`，所以 `AB'=MM'=2d\sin\alpha`。

但要怎么要论证当且仅当 `d\cos\alpha<1` 时才存在这种情形呢？好像还不太好说清楚……

isee

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题外话：这不是“抹掉了”是打印的电脑缺少对应的字体（或未能正确显示字体）所致

kuing

回复 4# isee

我觉得并不是字体问题，纯粹是那一行超过一定高度就不显示了，不然无法解释前面圆方程的次数2只显示了一半

kuing

回复 4# isee

无聊地在 word 里实现了这一现象：