面积与长度

力工

平面几何，求长度

战巡

回复 1# 力工


令$AD=x$，$CD=y$

显然$A,C,B,D$共圆，有$\angle ADC=\angle BDC=45\du$，于是按角平分线定理有
\[\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{x}\]
于是
\[\frac{S_{\Delta ADF}}{S_{\Delta ADC}}=\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{1+\frac{4}{x}}=\frac{x}{x+4}\]
这里
\[S_{\Delta ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin(\angle ADC)=\frac{xy}{2\sqrt{2}}\]

这就有
\[\frac{S_{\Delta ADF}}{S_{\Delta ADC}}=\frac{18\sqrt{2}}{xy}=\frac{x}{x+4}\]
这是第一条方程

第二条方程，由托勒密定理得到
\[AC\cdot BD+BC\cdot AD=AB\cdot CD\]
这里面$AC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}$，也就有
\[BD+AD=\sqrt{2}CD\]
\[4+x=\sqrt{2}y\]
两个方程解出来得到
\[x=6,y=5\sqrt{2}\]

力工

回复 2# 战巡
大神高！居然用上托乐咪定理，我真没想到这个。

乌贼

如图：
   作$ AP\perp CD $，垂足为$ P $，有$ AFPE $四点共圆。得\[ \angle FPC=45\du \riff FP\px AD\riff S_{\triangle AFD}=S_{\triangle APD}=9\riff AP=\sqrt{18}\riff AD=6 \]……

力工

两位的想法合二为一，学习了。