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| 问题 4 设L、M、N分别为△ABC的三条高AD、BE、CF的中点, △ABC的内切圆与其边BC、CA、AB分别切于X、Y、Z, 则LX、MY、NZ三线共点. 记此点为P, 进而证明点P在△ABC的外心与内心的连线上. （第 44 届(2003)IMO越南选拔赛）(见图 17)
问题的困难之处在于我们似乎无法将其化为一个已知的共点或共线问题, Menelaus 定理与 Ceva 定理以及位似变换又都用不上, 于是, 我们只能采取证明三点共线或三线共点的一些其他方法来尝试. 实际上, 本题的关键是先要证明欲证的共点三直线中, 每一条都过三角形的一个旁心.
引理 设K为△ABC的内切圆与BC边的交点, L为△ABC的高AD的中点, 则△ABC的A-旁心Ia在直线KL上.
证明 如图 18, 设E为△ABC的A-旁切圆与BC边的切点, F为△ABC的内切圆上点K的对径点, 则A、E、F在一直线上. 显然, EIa∥FK∥AD. 因L为AD的中点, 所以, EL过△ABC的内心I, 又A、I、Ia在一直线上, 于是$$\frac{I_{a} E}{L D}=\frac{I_{a} E}{A L}=\frac{E I}{I L}=\frac{E K}{K D}$$由此即知, Ia、K、L三点共线, 即△ABC的A-旁心Ia在直线MK上.
这样, 如图 19, 由引理, △ABC的A-旁心Ia在直线LX上. 设△ABC的外心与内心分别为O、I, 外接圆半径与内切圆半径分别为R、r, 直线LX交直线OI于点P, IIa与△ABC的外接圆交于M, 则OM⊥BC, 且M为IIa的中点. 显然, 点P在OI的延长线上. 再过点Ia作OM的平行线交直线OI于Q, 则QIa=2OM=2R. 于是$$\frac{P I}{P Q}=\frac{I X}{Q I_{a}}=\frac{r}{2 R}$$所以$$\frac{P I}{2 O I}=\frac{P I}{I Q}=\frac{r}{2 R-r}$$从而有$$P I=\frac{2 r \cdot O I}{2 R-r}$$最后的等式说明: 点P是直线OI上的一个定点. 换句话说, 直线LX通过直线OI上的一个定点P; 同样, 直线MY、NZ也过直线OI上的这个定点P. 故直线LX、MY、NZ三线共点P. 并且点P在△ABC的外心与内心的连线上.
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全部黑色了