[几何] 中点连线补点

[Copy link]

3226 Threads	7843 Posts	52 Reputation

Show all posts

Send PM

hbghlyj posted 2022-4-30 07:17 |Read mode

来自zhuanlan.zhihu.com/p/107871684(专栏)

引理一： $\triangle ABC$ 重心 $G$ ， $BP$ 与 $AC$ 交于点 $E$ ， $CP$ 与 $AB$ 交于点 $F$ ， $BC$ 、 $EF$ 中点为 $M$ 、 $U$ ，则有 $MU$ 过 $P$ 的补点的补点，即 $\overrightarrow{GP}=4\overrightarrow{GT}$ . 引理一的证明：取 $A$ 关于 $M$ 的对称点 $A'$ ，对 $\triangle A'BC$ 和 $P$ 使用角元Ceva定理得\begin{aligned}1&=\frac{\sin\angle BA'P}{\sin\angle CA'P}\cdot\frac{\sin\angle A'CP}{\sin\angle BCP}\cdot\frac{\sin\angle PBC}{\sin\angle PBA'}\\&=\frac{\sin\angle BA'P}{\sin\angle CA'P}\cdot\frac{\sin\angle BFC}{\sin\angle BCP}\cdot\frac{\sin\angle PBC}{\sin\angle BEC}\\&=\frac{\sin\angle BA'P}{\sin\angle CA'P}\cdot\frac{BC}{BF}\cdot\frac{CE}{BC}\\&=\frac{\sin\angle BA'P}{\sin\angle CA'P}\cdot\frac{CE}{BF}\end{aligned}也即 $\frac{\sin\angle BA'P}{\sin\angle CA'P}=\frac{BF}{CE}$ . 而取 $CF$ 中点 $X$ ，可得 $\frac{\sin\angle XUM}{\sin\angle XMU}=\frac{XM}{XU}=\frac{BF}{CE}$ ，又 $XM、XU$ 分别与 $A'C，A'B$ 平行，故 $MU$ 与 $A'P$ 平行，引理一证毕. 推论：取 $P$ 的补点 $P'$ ，有 $A'P\px AP'\px MU$ .

Reply Edit 0

Bump

Return to list New

Quick Reply

× Quick Reply To Top Edit

Mobile version

2025-7-23 09:44 GMT+8

Powered by Discuz!

Processed in 0.015320 seconds, 22 queries

Account		Remember me	Forgot password
Password			Register account

[几何] 中点连线 补点

Quick Reply

Viewed boards

[几何] 中点连线补点