已知正实数x、y、z满足$5min(x,y,z)\ge x+y+z$

走走看看

已知正实数x、y、z满足$5min(x,y,z)\ge x+y+z$，证明：

$\frac{1}{(x^2+xy+y^2)^2}+\frac{1}{(y^2+yz+z^2)^2}+\frac{1}{(z^2+zx+x^2)^2}\ge \frac{3}{(xy+yz+zx)^2}$

kuing

设三条线段 `OA`, `OB`, `OC` 两两成 `120\du` 且长度分别为 `x`, `y`, `z`，则 `x^2+xy+y^2=AB^2` 等，记 `\triangle ABC` 三边长为 `a`, `b`, `c`，面积为 `S`，由 `2\S{OAB}=xy\sin120\du` 等得 `xy+yz+zx=4S/\sqrt3`，所以原不等式化为
\[\frac1{a^4}+\frac1{b^4}+\frac1{c^4}\geqslant\frac9{16S^2},\quad(*)\]
由条件得 `5x\geqslant x+y+z` 即 `x\geqslant(y+z)/4`，则有
\begin{align*}
b^2+c^2-a^2&=(z^2+zx+x^2)+(x^2+xy+y^2)-(y^2+yz+z^2)\\
&=2x^2+x(y+z)-yz\\
&\geqslant2x^2+\frac14(y+z)^2-yz\\
&>0,
\end{align*}
即 `b^2+c^2>a^2`，同理 `c^2+a^2>b^2`, `a^2+b^2>c^2`，于是再设
\[\led
b^2+c^2-a^2&=2t,\\
c^2+a^2-b^2&=2u,\\
a^2+b^2-c^2&=2v
\endled\iff\led
a^2&=u+v,\\
b^2&=v+t,\\
c^2&=t+u,
\endled\]
由秦九韶面积公式有
\begin{align*}
4S^2&=a^2b^2-\left( \frac{a^2+b^2-c^2}2 \right)^2\\
&=(u+v)(v+t)-v^2\\
&=tu+uv+vt,
\end{align*}
因此式 (*) 又化为
\[\frac1{(u+v)^2}+\frac1{(v+t)^2}+\frac1{(t+u)^2}\geqslant\frac9{4(tu+uv+vt)},\]
此奶著名的“伊朗 96 不等式”。

走走看看

回复 2# kuing

谢谢Kuing！

没想到，这道题这么费事。

如果转化一次后，不进行第二次转化，那就是要证：

$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\ge \frac{9}{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$。

可见第二次转换依然重要。
’
查到了伊朗96不等式。那么多证明，看得人眼花缭乱。关键是如何想起来那么证。

走走看看

回复 3# 走走看看

doc88.com/p-0703847636085.html

证法一最简单，但怎么想到的呢？如何想到把$\sum \frac{1}{(a+b)^2}$单独处理？就算是想到了，又如何知道替代成那个样子呢？

走走看看

回复 4# 走走看看

可能是这样想的：取等显然是a=b=c，但若按取等来构造不等式，则是$\sum \frac{1}{(a+b)^2}≤...$，这不符合本题要求。于是退一步想，让a=b，看看可否得到“≥”。

如果按a=b，并保持a、b的独立性，显然$ \frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{4b^2},\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}=\frac{2}{(b+c)^2}$，美妆一下$ \frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{4ab},\frac{2}{(b+c)^2}=\frac{2}{(b+c)(c+a)}$。

然后是检验，正好满足“≥”。

先要证明（这里略）：

$ \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \ge \frac{1}{4ab}+\frac{2}{(b+c)(c+a)}$

然后：

$ [\frac{1}{4ab}+\frac{2}{(b+c)(c+a)}](ab+bc+ca)=\frac{ab+bc+ca}{4ab}+\frac{2(ab+bc+ca)}{(b+c)(c+a)}$

$=\frac94+\frac{c(b+a)}{4ab}-\frac{2c^2}{(b+c)(c+a)}=\frac94+\frac{c(b+a)(b+c)(c+a)-8abc^2}{4ab(b+c)(c+a)}$

$\ge\frac94+\frac{c\cdot 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot  2\sqrt{ca}-8abc^2}{4ab(b+c)(c+a)}$

$=\frac94$