整数解

大佬最帅

Czhang271828

咋看都不对啊. 比较分母知, 仅需求非负整数解.

若 $k=3$, 则方程作 $2^{x_1}+3^{x_2}+5^{x_3}=7^{x_3}$. 此时
\[
7^{x_3}-5^{x_3}=2^{x_1}+3^{x_2}.
\]
显然 $x_3\geq 2$. 下讨论之.

若 $x_1=0$, 则 $7^{x_3}-5^{x_3}-1$ 为 $3$ 的幂. 考察同余知 $x_3=1$ 是唯一可行解.

若 $x_1\neq 0$, 则无解.