平面向量

_xiaoren

请问本题的选项D如何处理

力工

回复 1# _xiaoren

可能这样算吧。$\bm{MN}=\dfrac{\bm{BE}+\bm{CF}}{2}=\dfrac{\lambda \bm{BP}+μ\bm{CP}}{2}$

kuing

记 `\bm a=\vv{AP}`, `\bm b=\vv{DP}`，由条件得
\begin{align*}
\vv{BE}\cdot\vv{CF}&=\lambda\mu\bigl(\vv{BA}+\bm a\bigr)\cdot\bigl(\vv{CD}+\bm b\bigr)\\
&=\lambda\mu(1+\bm a\cdot\bm b),
\end{align*}
由 `\abs{MN}=1/2` 得
\begin{align*}
1&=4\abs{MN}^2\\
&=\bigl(\vv{BE}+\vv{CF}\bigr)^2\\
&=\lambda^2(1+\bm a^2)+\mu^2(1+\bm b^2)+2\vv{BE}\cdot\vv{CF}\\
&\geqslant2\lambda\mu\sqrt{(1+\bm a^2)(1+\bm b^2)}+2\vv{BE}\cdot\vv{CF}\\
&=2\vv{BE}\cdot\vv{CF}\frac{\sqrt{(1+\bm a^2)(1+\bm b^2)}}{1+\bm a\cdot\bm b}+2\vv{BE}\cdot\vv{CF},
\end{align*}
显然 `\bm a\cdot\bm b\in[-1/4,0]`，根号里面配个方，有
\begin{align*}
\frac{\sqrt{(1+\bm a^2)(1+\bm b^2)}}{1+\bm a\cdot\bm b}&=\sqrt{\frac{(1+\bm a\cdot\bm b)^2+(\bm a-\bm b)^2}{(1+\bm a\cdot\bm b)^2}}\\
&=\sqrt{1+\frac1{(1+\bm a\cdot\bm b)^2}}\\
&\geqslant\sqrt2,
\end{align*}
代入上面，即得
\[1\geqslant2\sqrt2\vv{BE}\cdot\vv{CF}+2\vv{BE}\cdot\vv{CF}\riff\vv{BE}\cdot\vv{CF}\leqslant\frac{\sqrt2-1}2,\]
当 `P` 与 `A` 重合且 `\lambda=\sqrt2\mu` 时取等，代入可以算出具体的 `\lambda`, `\mu`，懒得码了。

isee

回复 3# kuing

相当麻烦啊，我都没看完整，扫了个大概（处理得很强）浙江味太浓了，包括建坐标系，元多

色k

回复 4# isee

这么没耐心/emmm....

_xiaoren

谢谢大佬指点迷津

_xiaoren

回复 2# 力工
谢谢提供很好的思路

nttz

回复 3# kuing
其他的选项呢？

kuing

回复 8# nttz

楼主只问 D，其他我就懒得想了