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有漏是因为导出数据库的时间是 5-12 凌晨，到 5-14 才弄好，还好那两天只有一个新主题，补录如下。
标题: [不等式] 与方程根有关的不等式
#1
作者: Infinity 时间: 2022-5-12 18:33
网上看到的一个老题目，不知论坛是否有讨论过？是否有好方法，或者一般性的方法？
bbs.emath.ac.cn/thread-16925-1-1.html
如果不考虑简洁性，不等式右端还可继续加强(形式就比较丑，有拼凑感)。
#2
作者: AzraeL 时间: 2022-5-13 13:58
本帖最后由 AzraeL 于 2022-5-13 18:55 编辑
这个不等式应该是一位叫欢姐的大神出的,后来在光子问答APP上见过,里面有位叫王老师的用户经常跟他搞这种不等式,不过以下解法来自琪琪.
设$f(x)=x-\ln x-m,f(a)=f(b)=0(a<b)$,那么$0<a<1<b,m>1$,于是$m+\sqrt m-a>1$,从而\[
a+b<m+\sqrt m\Longleftrightarrow f(b)<f(m+\sqrt m-a)\Longleftrightarrow\sqrt{a-\ln a}-a-\ln(\sqrt{a-\ln a}-\ln a)>0.\]
设$g(x)=\sqrt{x-\ln x}-x-\ln(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)(0<x<1)$,那么
\begin{align*}
g'(x)&=\dfrac{(x+1)(1-2x+\sqrt{x-\ln x})+(x+1+2x\sqrt{x-\ln x})\ln x}{2x\sqrt{x-\ln x}(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)}\\
&<\dfrac{(x+1)(1-2x+\dfrac{x-\ln x+1}2)+(x+1+2x)\ln x}{2x\sqrt{x-\ln x}(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)}\\
&=\dfrac{3(1-x^2)+(1+5x)\ln x}{4x\sqrt{x-\ln x}(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)}\\
&<\dfrac{3(1-x^2)+\dfrac{3(1+5x)(x^2-1)}{x^2+4x+1}}{4x\sqrt{x-\ln x}(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)}\\
&=-\dfrac{3x(1+x)(x-1)^2}{4x(x^2+4x+1)\sqrt{x-\ln x}(\sqrt{x-\ln x}-\ln x)}<0.
\end{align*}
于是\[
\forall0<x<1,g(x)>g(1)=0.\]
原不等式得证.
印象里这一串都是他们搞的\[
m+\dfrac1m+\ln m<a+b<m+\dfrac{m\ln m}{m-1}<m+\dfrac1{\sqrt m}+\ln m<m+\sqrt m<m+\dfrac{m-1}{\ln m}.\]
#3
作者: isee 时间: 2022-5-13 18:20
回复 2# AzraeL
可能这个专题里也有
一元平均值的不等式
forum.php?mod=viewthread&tid=8223
#4
作者: Infinity 时间: 2022-5-13 20:47
回复 2# AzraeL
感谢！看来是还是利用函数单调性解决。请问“里面有位叫王老师的用户经常跟他搞这种不等式”——其中“这种不等式”是指关于方程根的不等式吗？
#5
作者: Infinity 时间: 2022-5-13 20:48
回复 3# isee
这个资料补充得好！ |
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