三角形中套一个直角求线段长

isee

如图，$\triangle ABC$内一点$P$满足$PB\bot PC,AC=BP=2$. 若$AB=\sqrt 5,\sin\angle ACP=\frac 1{10}$，求$AP$的长.

战巡

正弦定理可得
\[\frac{AP}{\sin(\angle ACP)}=\frac{AC}{\sin(\angle APC)}\]
然后显然$\angle APB=360\du-90\du-\angle APC$，就有$\sin(\angle APC)=-\cos(\angle APB)$，然后
\[\frac{AP\sin(\angle APC)}{AC}=\sin(\angle APC)=-\cos(\angle APB)=-\frac{AP^2+BP^2-AB^2}{2AP\cdot BP}\]
\[\frac{AP}{20}=-\frac{AP^2+4-5}{4AP}\]
\[AP=\sqrt{\frac{5}{6}}\]

isee

战巡 发表于 2022-5-16 19:58
正弦定理可得
\[\frac{AP}{\sin(\angle ACP)}=\frac{AC}{\sin(\angle APC)}\]
然后显然$\angle APB=360\du- ...

哎呀，好久不见你这头像了，好亲切，感谢战版


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不过，结果计算有误

色k

isee 发表于 2022-5-16 20:51
哎呀，好久不见你这头像了，好亲切，感谢战版

旧论坛不是这个头像吗？

isee

色k 发表于 2022-5-16 21:13
旧论坛不是这个头像吗？

可能自动隐藏了的原因……