这道题可有简便算法

baxiannv

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和 $S_n=n^2+n$ ， $n \in N^*$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项 $b_n=2^n+1$ ， $n \in N^*$ ，现将 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列 $\left\{c_n\right\}$ ，则满足 $c_1+c_2+c_3+\dots+c_n$ $>20 c_{n+1}$ 成立的 n 的最小值为（）

A． 39
B． 41
C． 43
D． 45

主要排序很恶心，不知道$c_{n+1}$在哪个数列上

AzraeL

由于$a_n=2n$,故以$b_n=1+2^n$的位置来分组$c_n$,利用$c_n$的前$n+2^{n-1}$项和来估计所求最小$n_0$的大致位置,它包含了$a_n$的前$2^{n-1}$项与$b_n$的前$n$项,也就是\[
\sum_{k=1}^{n+2^{n-1}}c_k=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}a_k+\sum_{k=1}^nb_k=(1+2^{n-1})2^{n-1}+n+2^{n+1}-2=2^{2n-2}+5\cdot2^{n-1}+n-2.\]
记\[
S_n=\sum_{k=1}^{n+2^{n-1}}c_k-20c_{n+2^{n-1}+1}=2^{2n-2}-35\cdot2^{n-1}+n-42.\]
那么\[
(2^{n-1}-38)(2^{n-1}+2)<2^{2n-1}-35\cdot2^{n-1}-42\leqslant S_n\leqslant2^{2n-2}-34\cdot2^{n-1}-42<(2^{n-1}+1)(2^{n-1}-35).\]
于是当$n\leqslant1+\lfloor\log_235\rfloor=6$时,$S_n<0$;当$n\geqslant2+\lfloor\log_238\rfloor=7$时,$S_n>0$.这表明\[
38=6+2^5<n_0<7+2^6=71.\]
也就是求符合\[
\sum_{k=1}^{38}c_k+\sum_{k=1}^m(2^6+2k)-20c_{38+m+1}=1188+m(m+2^6)-20(2m+2^6+2)=(m+12)^2-276>0.\]
的最小整数$m$,不难得到是$5$,于是所求最小$n_0$为\[
n_0=6+2^5+5=43.\]