已知x，y，z>0，x+y+z=1，求证：$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+...$

走走看看

已知x，y，z>0，x+y+z=1，求证：

$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\le\frac{\sqrt{2}}2{}$

色k

见《撸题集》P.475~478 题目 4.6.53

走走看看

色k 发表于 2022-5-25 13:29
见《撸题集》P.475~478 题目 4.6.53

好，知道了，谢谢！

走走看看

看了下，柯西不等式应该是正解。

为了简化书写步骤，找到了以下两种解答。



证法一中，已知左式是x、y、z的轮换对称式，然后设x=min{x,y,z}，再讨论x≤y≤z和x≤z≤y。根本不必这样做。

不管是完全对称式还是轮换对称式，一系列数总是有大小的，把最大数设为z，最小数设为x，中间数设为y，

只要用一句话即可：不妨设x≤y≤z，哪需要进行两种情况下的讨论。

再有就是不容易想到  $\sqrt{A}+2\sqrt{B}\le\sqrt{3(A+2B)}$。



证法二中，注意到那一行，是否真的是恒等，看不出来。

kuing

走走看看 发表于 2022-6-1 18:11
看了下，柯西不等式应该是正解。

为了简化书写步骤，找到了以下两种解答。

并不比我书上的有什么简化啊

证法二其实就近似于我的证法，那个“注意到”就是我过程中所证明的 A=B。

证法一的加强，就相当于「天涯无际」所给出的那个。

如果说最简洁，那是杨学枝的证法。

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kuing 发表于 2022-6-1 18:30
并不比我书上的有什么简化啊

证法二其实就近似于我的证法，那个“注意到”就是我过程中所证明的 A=B。

你这叫 “内行看门道”啊，我看不习惯求和符号。

走走看看

走走看看 发表于 2022-6-1 18:11
看了下，柯西不等式应该是正解。

为了简化书写步骤，找到了以下两种解答。

通过研究知道，设x=min{x,y,z}，然后讨论x≤y≤z或x≤z≤y，是必要的。

“不妨设x≥y≥z”是不完备的。

比如 a、b、c的轮换对称式$a^2b+b^2c+c^2a$，三个参数从大到小或从小到大，对应的有：

(a,b,c)、(b,c,a)、(c,a,b)  三种形式  和  (a,c,b)、(c,b,a)、(b,a,c) 三种形式。

如果只设a≥b≥c，实际输入的参数若 类似 1、3、2，看起来不满足，其实满足了(b,c,a)形式，实质还是满足了设定(a,b,c)。

如果输入2、3、1，则无论如何都不能找到等价的转换形式，它只能在a≥c≥b中找到对应形式(b,a,c)。

由此可知，对于三元的轮换对称式，可以分两种形式进行讨论： x≥y≥z和x≥z≥y。

所以，三元轮换对称式，有以下两种形式

1）设定x=max{x,y,z}，然后讨论x≥y≥z和x≥z≥y。

或者 设定 x=min{x,y,z}，然后讨论x≤y≤z和x≤z≤y。

2）讨论 x≥y≥z和 x≥z≥y。

或者讨论 x≤y≤z和x≤z≤y。

事实上，只要在前后3种形式中各拿出1个进行讨论就可以了。

为避免眼花缭乱，按照上述书写形式更易读。