AP在△ABC角A平分线上且满足AB : AC=BD : CE，求 P 点位置。

TSC999

P 点在 △ABC 角 A 平分线上，CP 和 BP 的延长线交 AB、AC 于 E、D，如果 AB/AC = BD/CE，求作符合要求的 P 点 (A 点除外)。

战巡

在这种情况下，按正弦定理，会有
\[\frac{\sin(\angle A)}{BD}=\frac{\sin(\angle ADB)}{AB}\]
\[\frac{\sin(\angle A)}{CE}=\frac{\sin(\angle AEC)}{AC}\]
即
\[\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{\sin(\angle AEC)}{\sin(\angle ADB)}\]
既然$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$，那么就有
\[\sin(\angle AEC)=\sin(\angle ADB)\]

这里两种情况，第一种是$\angle AEC=\angle ADB$，此时会有$\angle ABD=\angle ACE$，进而有
\[\Delta APB\cong\Delta APC\]
也就有$AB=AC$了，这种条件不大现实，只有特殊情况能成立，因此不考虑了

第二种是$\angle AEC+\angle ADB=180\du$，此时有$A,E,P,D$共圆，也就有$\angle BPC=180\du-\angle A$
这个好办，作$A$关于$BC$的对称点$A'$，然后作$\Delta A'BC$外接圆，与$AM$交于$P$即可

TSC999

战巡 发表于 2022-5-27 22:54
在这种情况下，按正弦定理，会有
\[\frac{\sin(\angle A)}{BD}=\frac{\sin(\angle ADB)}{AB}\]
\[\frac{\si ...

楼上作图完全正确！

乌贼

熟悉的圆中$ \triangle AED $，$ P $在圆上且$ \angle EAP=\angle DAP $，$ AE $交$ DP $于$ B $，$ AD $交$ EP $于$ C $。则有\[ \triangle ACE\sim \triangle ECD\riff \dfrac{AC}{EC}=\dfrac{AP}{ED} \]\[ \triangle ABP\sim \angle DBE\riff \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AP}{DE} \]即有\[ \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CE}{DB} \]所以\[ \angle BAC=\angle DPC \]作平行四边形$ ABGC $则$ \triangle BCG $外接圆与$ AM $的交点即为所求$ P $点。