共$n$个$(c,d)$使$a_i,b_i,c,d$共圆,$n$有限,求$n$最大值

hbghlyj

对于固定的$a_i,b_i(i=1,2,3,4)$,平面上共有$n$对点$c,d$使$a_i,b_i,c,d$共圆,$i=1,2,3,4$,$n∈\Bbb N$.求$n$的最大值.

对于固定的$a_i(i=1,2,\dots,6)$,平面上共有$n$组点$b,c,d$使$a_i,b,c,d$共圆,$i=1,2,\dots,6$,$n∈\Bbb N$.求$n$的最大值.

Czhang271828

这题有点奇怪 (晚点看看有什么陷阱), 先假设 $(a_i,b_i)$ 两两不同吧.
第一题: $0<n\leq \infty$ 的必要条件是一切 $(a_i,b_i)$ 以及 $(c,d)$ 之中垂线有公共交点. 那么显然有无穷组或零组 $(c,d)$ 满足条件.
第二题: 若存在 $(b,c,d)$, 则 $(a_1,a_2,\ldots, b,c,d)$ 共圆, 那么就有无限组 $(b,c,d)$ 满足...

hbghlyj

是当$n$有限时可取的最大值吧

是的是的.题中写了$n∈\Bbb N$.
那个第二题没有意义. 我们来看第一题吧
第一题应该是有3对点才对吧.
题目应该是

对于固定的$a_i,b_i(i=1,2,3)$,平面上共有$n$对点$c,d$使$a_i,b_i,c,d$共圆,$i=1,2,3$.
$n∈\Bbb N$.求$n$的最大值.

hbghlyj

设根轴为$L$,设$\overleftrightarrow{a_ib_i}$与$L$交于$p_i$,则$|p_ia_i|·|p_ib_i|$都相等.
问题转化为

对于三对点$a_i,b_i(i=1,2,3)$,求出这样的一条直线 $L$,设$\overleftrightarrow{a_ib_i}$与$L$交于$p_i$,使得$|p_ia_i|·|p_ib_i|$都相等.

hbghlyj

顶!