这个不等式可以俩边同时放缩吗

baxiannv

$\begin{aligned} & f(x)=e^x-\frac{x}{2} \\ & \text { 证明: } f(x)>\frac{3}{2} \ln x-\frac{1}{2} x^2+2 \\ & \text { 即 } e^x-\frac{x}{2}>\frac{3}{2} \ln x-\frac{1}{2} x^2+2\end{aligned}$


两边同时放缩可以吗？

\[
x+1-\frac{x}{2} \geqslant \frac{3}{2}(x-1)-\frac{x^2}{2}+2
\]

kuing

想知道可不可以，那你算一下最后那个不等式是不是成立不就知道了吗？就再前进一步而已，算一下用不了半分钟，就不能多思考思考再提问吗？

baxiannv

kuing 发表于 2022-5-28 18:10
想知道可不可以，那你算一下最后那个不等式是不是成立不就知道了吗？就再前进一步而已，算一下用不了半分钟 ...

我都搞了半小时不止了
群里有人说定义域变了
有人说放过头了
还有人说变号了
还有人说只能一边放缩

baxiannv

题目要证的是大于，可是我最后结果可以等于怎么办，（0，1）有交点）

kuing

baxiannv 发表于 2022-5-28 18:24
我都搞了半小时不止了
群里有人说定义域变了
有人说放过头了

`\begin{aligned}
&x+1-\dfrac x2\ge\dfrac32(x-1)-\dfrac{x^2}2+2\\
\iff&\dfrac{x^2}2-x+\dfrac12\ge0\\
\iff&\dfrac12(x-1)^2\ge0
\end{aligned}`
就这需要半分钟？
至于最后可以等于这个不要紧，因为定义域是 x>0，所以 `e^x>1+x`，也就是左边放缩的时候是大于的，那么原不等式也是大于，没问题。

baxiannv

kuing 发表于 2022-5-28 21:52
`\begin{aligned}
&x+1-\dfrac x2\ge\dfrac32(x-1)-\dfrac{x^2}2+2\\
\iff&\dfrac{x^2}2-x+\dfrac12\ge0\\ ...

⊙∀⊙！
群里有个人一直说我放缩之后改变了x的定义域 x可以负数