三角形最值问题讨论

nttz

任意三角形ABC内任意一点P，P到点A,B,C的距离是Sa，Sb，Sc，到边AB,BC,AC的距离是Hc，Ha，Hb
那么讨论下，AB ，BC,CA的长分别是c,a,b
$Sa^n+Sb^n+Sc^n$是否有最值，存在的话条件是什么？
同理$Ha^n+Hb^n+Hc^n$也有类似的问题

kuing

到顶点距离的比较困难，应该没什么简单结果。

到边距离的还简单一些，设三角形面积为 `S`，因 `P` 在三角形内，则 `aH_a+bH_b+cH_c=2S`，当 `n>1` 时，就有
\[\sum H_a^n=\sum\frac{(aH_a)^n}{(a^{n/(n-1)})^{n-1}}\geqslant\frac{(\sum aH_a)^n}{(\sum a^{n/(n-1)})^{n-1}}=\frac{(2S)^n}{(a^{n/(n-1)}+b^{n/(n-1)}+c^{n/(n-1)})^{n-1}},\]
另一方面，不妨设 `a\leqslant b\leqslant c`，则
\[H_a+H_b+H_c\leqslant\frac{aH_a+bH_b+cH_c}a=\frac{2S}a,\]
所以
\[H_a^n+H_b^n+H_c^n<(H_a+H_b+H_c)^n\leqslant\left( \frac{2S}a \right)^n,\]
当 `P` 趋向顶点 `A` 时 `H_a^n+H_b^n+H_c^n\to(2S/a)^n`，所以这就是上确界。

nttz

kuing 发表于 2022-5-29 14:03
到顶点距离的比较困难，应该没什么简单结果。

到边距离的还简单一些，设三角形面积为 `S`，因 `P` 在三角 ...

第一行是利用权方和不等式得出下界吧，下面第二行取等条件是等边三角形，并且p趋与A点时的极限，可以这样理解么

kuing

nttz 发表于 2022-5-29 17:46
第一行是利用权方和不等式得出下界吧，下面第二行取等条件是等边三角形，并且p趋与A点时的极限，可以这样 ...

不需要等边三角形

nttz

kuing 发表于 2022-5-29 17:53
不需要等边三角形

上面不是假设$a\leqslant b\leqslant c$,哪个式子不是要求a=b=c才能等于 2s/a么

kuing

nttz 发表于 2022-5-29 17:56
上面不是假设$a\leqslant b\leqslant c$,哪个式子不是要求a=b=c才能等于 2s/a么

P 趋向顶点 A 时 Hb 和 Hc 都趋向 0，剩下的 Ha 就是 a 边上的高 2S/a

nttz

kuing 发表于 2022-5-29 18:11
P 趋向顶点 A 时 Hb 和 Hc 都趋向 0，剩下的 Ha 就是 a 边上的高 2S/a

那个不等式的条件不一致啊，前面是a最小，后者是a>0 ,b,c趋于0，两种情况是什么关系？后者貌似只能取等于，不能小于，前者是小于等于

kuing

nttz 发表于 2022-6-14 22:16
那个不等式的条件不一致啊，前面是a最小，后者是a>0 ,b,c趋于0，两种情况是什么关系？后者貌似只能取等于 ...

什么时候说过 b,c趋于0？