请问这个公式原理是什么

baxiannv

The number of digits in base $b$ of a positive integer $k$ is
\[
\left\lfloor\log _b k\right\rfloor+1=\left\lceil\log _b(k+1)\right\rceil .
\]

kuing

你是问：为什么 b 进制正整数 k 的位数是 `\lfloor\log_bk\rfloor+1`？
还是问：为什么 `\lfloor\log_bk\rfloor+1=\lceil\log_b(k+1)\rceil`？

baxiannv

kuing 发表于 2022-5-30 12:30
你是问：为什么 b 进制正整数 k 的位数是 `\lfloor\log_bk\rfloor+1`？
还是问：为什么 `\lfloor\log_bk\rf ...

第二个

kuing

设 `a_k=\log_bk`，这是递增数列，且该数列取遍所有自然数，所以相邻两项必在某个区间 `[n,n+1]` 内（含端点），从而等式成立。

tommywong

The number of digits of k is N $\implies b^{N-1}\le k<b^N$
$\implies N-1\le \log_b k<N\implies \lfloor\log_b k\rfloor =N-1$
$b^{N-1}<k+1\le b^N\implies N-1<\log_b (k+1)\le N
\implies \lceil\log_b (k+1)\rceil =N$