向量 $\left|5\bm a-\bm b\right|=4,$ 则 $|\bm a|$ 的取值范围

isee

源自知乎提问




题：已知平面向量 $\bm a,\;\bm b$ 满足 $\left|5\bm a-\bm b\right|=4,$ 若 $\bm a\cdot \bm b\in [0,1]$ ，则 $|\bm a|$ 的取值范围是____.



按 $\exists\; \bm a\cdot \bm b\in [0,1]$ 使得 $\left| 5\bm a-\bm b\right|=4$ 来处理.



记 $|\bm m|=|5\bm a-\bm b|=4$ 则 $\bm a=\frac {\bm b+\bm m}5$ 于是 $0\leqslant \bm a\cdot \bm b=\frac {\bm b^2+\bm b \bm m}5\leqslant 1,$ 所以 $0\leqslant \bm b^2+\bm b \bm m\leqslant 5.$

不等式组同加 $\frac 14 \bm {m^2}=4$ 得到 $4\leqslant \left(\bm b+\frac 12\bm m \right)^2\leqslant 5+4=9.$

从而 $2\leqslant \left|\bm b+\frac 12\bm m \right|\leqslant 3$ 即 $\color{blue}{2\leqslant \left|5\bm a-\frac 12\bm m \right|\leqslant 3}.$

再由向量三角不等式 $|\bm x|-|\bm y|\leqslant |\bm x+\bm y|\leqslant |\bm x|+|\bm y|$ 得

\begin{gathered} 0=2-2\leqslant \left|5\bm a-\frac 12\bm m\right|-\left|\frac 12 \bm m\right|\leqslant |5\bm a|=\\\left|5\bm a-\frac 12 \bm m+\frac 12 \bm m\right|\leqslant \left|5\bm a-\frac 12\bm m\right|+\left|\frac 12 \bm m\right|\leqslant 3+2 \end{gathered}

即 $ |5\bm a|$ 大于左端最小值 $0$ ，小于右端最大值 $5$ ，亦即 $ |\bm a|\in [0,1].$

kuing

记 `\abs{\bm a}=p`，显然 `\bm a` 可以是零向量，故 `p` 最小值为零；

由条件有
\[\abs{\bm b}=\abs{\bm b-5\bm a+5\bm a}\geqslant\bigl|\abs{\bm b-5\bm a}-5\abs{\bm a}\bigr|=\abs{4-5p},\]
再对条件平方有
\[16=25p^2-10\bm a\cdot\bm b+\bm b^2\geqslant25p^2-10+(4-5p)^2,\]
可得 `p\leqslant1`，取等懒得理……

isee

kuing 发表于 2022-6-6 00:29
记 `\abs{\bm a}=p`，显然 `\bm a` 可以是零向量，故 `p` 最小值为零；

由条件有

比我的解法（虽然也是思考良久的）简洁明了，学习了