非对称分式不等式

anhcanhsat97

令 $a, b, c$ 为正实数。 证明
$$
\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \frac{32 a}{2 a+b+c}
$$

kuing

“技术不平等问题”猜不到原英文是什么……
“不平等”就是不等式，但“技术”是什么呢？

yao4015

”技术不平等“，估记可能是“非对称不等式”。 "非对称分式不等式"更恰当点。

\begin{align*}
& \qquad \frac{2a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6a+2c}{3b+c}+\frac{4a+3b+c}{b+c} \\
& =\frac{2a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{4a}{3b+c}+\frac{2(a+c)}{3b+c}+\frac{4a}{b+c}+\frac{3b+c}{b+c}\\
& =\frac{2a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{4a}{3b+c}+\frac{2(a+c)}{3b+c}+2 \times \frac{2a}{b+c}+2\times \frac{3b+c}{2(b+c)}\\
& \geq  8\sqrt[8]{\left(\frac{2a}{a+b}\right)\left(\frac{a+b}{a+c}\right)\left(\frac{4a}{3b+c}\right)\left(\frac{2(a+c)}{3b+c}\right)\left(\frac{2a}{b+c}\right)^2\left(\frac{3b+c}{2(b+c)}\right)^2}\\
&=8\sqrt{\frac{2a}{b+c}}
\end{align*}
于是只需证
\[
8\sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{32a}{2a+b+c}.
\]
两边平方，上面不等式等价于
\[
\frac{2a(2a-b-c)^2}{(b+c)(2a+b+c)^2}\geq 0.
\]
证毕。

从面上的证明，可以看出原不等式是相当弱的。但我一开始用 $C-S$ 尝试多次均未成功。

色k

yao4015 发表于 2022-6-7 15:08
”技术不平等“，估记可能是“非对称不等式”。 "非对称分式不等式"更恰当点。

\begin{align*}

好腻害

PS、其实可以一路均值写到底：
\begin{align*}
&\ge \cdots\\
&=8\sqrt{\frac{2a}{b+c}}\\
&=\frac{16a}{\sqrt{2a(b+c)}}\\
&\ge\frac{32a}{2a+b+c}
\end{align*}

anhcanhsat97

$x$, $y, z$ 是正实数，使用不等式 $\mathrm{AM}-\mathrm{GM}$，我们有
$$
\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{2 x}{\sqrt{x y}} \geq \frac {4 x}{x+y}
$$
使用这个结果，我们有
$$
\begin{align*}
&\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c} \geq \frac{4 \cdot 2 a}{2 a+a+c}=\frac{8 a} {3 a+c}, \\
&\frac{8 a}{3 a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}=2\left(\frac{4 a}{3 a+c}+\frac{3 a+c}{3 b+c}\right) \geq 2 \cdot \frac{4 \cdot 4 a}{4 a+3 b+c}=\frac{32 a}{4 a+3 b+ c }, \\
&\frac{32 a}{4 a+3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c}=4\left(\frac{8 a}{4 a+3 b+ c }+\frac{4 a+3 b+c}{4 b+4 c}\right) \geq 4 \cdot \frac{4 \cdot 8 a}{8 a+4 b+4 c}=\frac {32 a}{2 a+b+c}。
\end{align*}
$$
把上面的不等式加到两边，我们立即得到待证明的不等式