列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_n+a_n^2+\cdots+a_n^n=\frac{1}{2}$

Tesla35

(2015清华金秋营)已知数列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_n+a_n^2+\cdots+a_n^n=\frac{1}{2}(n=1,2,\cdots)$.证明:
(1)$a_n>a_{n+1}(n=1,2,\cdots)$;
(2)对于任意给定的$\varepsilon(0<\varepsilon<1)$,总存在正整数$m$,当$n>m$时,$0<a_n-\frac{1}{3}<\varepsilon$.

第二问右侧

kuing

用反证法。

假设命题不成立，则：存在 `\veps\in(0,1)`，对于任意 `m\inN^+`，都存在 `n` 满足 `n>m` 且 `a_n-1/3\notin(0,\veps)`。

容易证明 `a_n\leqslant1/3` 是不可能的，所以只可能是 `a_n\geqslant1/3+\veps`。

由于 `n>m`，由第一问知数列递减，所以 `a_m>a_n\geqslant1/3+\veps`，由条件
\begin{align*}
\frac12&=a_m+a_m^2+\cdots+a_m^m\\
&>\frac13+\veps+\left( \frac13+\veps\right)^2+\cdots+\left( \frac13+\veps\right)^m\\
&=\frac{1+3\veps}3+\frac{(1+3\veps)^2}{3^2}+\cdots+\frac{(1+3\veps)^m}{3^m}\\
&>(1+3\veps)\left( \frac13+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{3^m} \right)\\
&=(1+3\veps)\left( \frac12-\frac1{2\cdot3^m} \right)\\
&=\frac12+\frac{3\veps(3^m-1)-1}{2\cdot3^m},
\end{align*}
那么当 `m` 满足 `3^m>1+1/(3\veps)` 时，上式就大于 `1/2`，矛盾！

战巡

既然第一问已经证明了这玩意递减，又已知$a_n>0$，说明$\lim_{n\to\infty}a_n=a$是存在的，而且$a<a_1=\frac{1}{2}$
那就有
\[\frac{a_n(1-a_n^n)}{1-a_n}=\frac{1}{2}\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n(1-a_n^n)}{1-a_n}=\frac{1}{2}\]
\[\frac{a}{1-a}=\frac{1}{2}\]
\[a=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{3}\]
那按极限定义，就会有对任意正数$\epsilon$，始终存在$N$使得任意$n>N$均有
\[|a_n-\frac{1}{3}|<\epsilon\]

Tesla35

kuing 发表于 2022-6-6 16:51
用反证法。

假设命题不成立，则：存在 `\veps\in(0,1)`，对于任意 `m\inN^+`，都存在 `n` 满足 `n>m` 且 ` ...

懂了。

Tesla35

kuing 发表于 2022-6-6 16:51
用反证法。

假设命题不成立，则：存在 `\veps\in(0,1)`，对于任意 `m\inN^+`，都存在 `n` 满足 `n>m` 且 ` ...

反证法。“对于任意给定的$\varepsilon(0<\varepsilon<1)$”，这句也需要否定为“存在$\varepsilon(0<\varepsilon<1)$”吗？