据说浙江卷的最后一道送命题

力工

2022是浙江最后命题的一年，这是最后一题.
对不起，这是一号发的 ，我也没看就转来了，三楼对的。我把这楼的图片删了。误导各位大佬，灰常对不起

战巡

第一问就错的，最右边直接小于0了，应该整个反过来才对

对于切线，会有
\[f'(x)(x-a)=f(x)-b\]
即
\[(\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2})(x-a)=\frac{e}{2x}+\ln(x)-b\]
\[(\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2})(x-a)-\frac{e}{2x}-\ln(x)+b=0\]
这个方程得有3个解
令
\[g(x)=(\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2})(x-a)-\frac{e}{2x}-\ln(x)+b\]
则有
\[g'(x)=\frac{(e-x)(x-a)}{x^3}=0\]
得到
\[x=a,x=e\]
这两个极值点，很显然一个极大一个极小，而且也很明显需要$a>0$才能有3个解，以及$\lim_{x\to 0^+}g(x)=+\infty$和$\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$
这些玩意加上$e>a$，就得有
\[g(a)=b-\frac{e}{2a}-\ln(a)=b-f(a)<0\]
以及
\[g(e)=b-1-\frac{a}{2e}>0\]
这个是证不出$b-f(a)>\frac{1}{2}(\frac{a}{e}-1)$的，可以观察到反例，比如在$a=0.69,b=1.18$的位置

第二问还是不等号反过来，我真是服了
既然第一问都错了，第二问就更不好说了，我懒得弄了

lemondian

战巡 发表于 2022-6-8 12:26
第一问就错的，最右边直接小于0了，应该整个反过来才对

对于切线，会有

浙江卷
$f(x)=\frac{e}{2 x}+\ln x(x>0)$ 上有三点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right),\left(x_2, f\left(x_2\right)\right),\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$ ，且他们的切线都经过点 $(a, b)$
（1）求 $f(x)$ 单调区间；
（2）若 $a>e$ ，求证： $0<b-f(a)<\frac{1}{2}\left(\frac{a}{e}-1\right)$ ；
（3）若 $0<a<e$ 且 $x_1<x_2<x_3$ ，求证：$\frac{2}{e}+\frac{e-a}{6 e^2}<\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_3}<\frac{2}{a}-\frac{e-a}{6 e^2}$

题目长这个样子的

色k

所以说刚出来的录入版不要碰

kuing

回复楼主的标题：
“八一叩”是“命”字的分解嘛？
不过，为什么不是“人一叩”呢？

力工

kuing 发表于 2022-6-9 15:16
回复楼主的标题：
“八一叩”是“命”字的分解嘛？
不过，为什么不是“人一叩”呢？

人做题，做裂开了。一直以为数学很美，原来有时也是东施

AzraeL

设$t_kx_k=1(k=1,2,3)$,那么$0<t_3<\dfrac1{\rm e}<t_2<\dfrac1a<t_1$,并且有\[

f'\left(\dfrac1{t_k}\right)\left(a-\dfrac1{t_k}\right)+f\left(\dfrac1{t_k}\right)-b=(a+{\rm e})t_k-\dfrac{{\rm e}at_k^2}2-\ln t_k-b-1=0.
\]
于是有\[
t_1+t_3=\dfrac2a+\dfrac2{\rm e}-\dfrac{2(\ln t_1-\ln t_3)}{{\rm e}a(t_1-t_3)}.
\]
从而
\begin{align*}
&{\rm e}a\left(t_1+t_3-\dfrac2{\rm e}-\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)\left(t_1+t_3-\dfrac2a+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)\\

=&{\rm e}a\left[(t_1+t_3)^2-\left(\dfrac2a+\dfrac2{\rm e}\right)(t_1+t_3)\right]+\left(2+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}}\right)\left(2-\dfrac{{\rm e}a-a^2}{6{\rm e}^2}\right)\\

=&\dfrac{2(t_1+t_3)(\ln t_1-\ln t_3)}{t_3-t_1}+\left(2+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}}\right)\left(2-\dfrac{{\rm e}a-a^2}{6{\rm e}^2}\right).
\end{align*}
记$s=\dfrac{t_1}{t_3}>\dfrac{\rm e}a=r>1$,那么\[
{\rm e}a\left(t_1+t_3-\dfrac2{\rm e}-\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)\left(t_1+t_3-\dfrac2a+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)
=\dfrac{2(1+s)\ln s}{1-s}+\dfrac{(12r^2-r+1)(13r-1)}{36r^3}.
\]
不难得到函数$\dfrac{(1+x)\ln x}{1-x}$在$(1,+\infty)$上单调递减,于是\begin{align*}
&{\rm e}a\left(t_1+t_3-\dfrac2{\rm e}-\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)\left(t_1+t_3-\dfrac2a+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}\right)\\

=&\dfrac{2(1+s)\ln s}{1-s}+\dfrac{(12r^2-r+1)(13r-1)}{36r^3}\\

<&\dfrac{2(1+r)\ln r}{1-r}+\dfrac{(12r^2-r+1)(13r-1)}{36r^3}\\

<&\dfrac{6(1+r)(r^2-1)}{(1-r)(r^2+4r+1)}+\dfrac{(12r^2-r+1)(13r-1)}{36r^3}\\


=&-\dfrac{(r-1)^2[6+78(r-1)+133(r-1)^2+60(r-1)^3]}{36r^3(r^2+4r+1)}<0.
\end{align*}
其中利用了$\ln x>\dfrac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}(x>1)$,因此\[
\dfrac2{\rm e}+\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}<\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_3}=t_1+t_3<\dfrac2a-\dfrac{{\rm e}-a}{6{\rm e}^2}.
\]