一个解几命题的充要条件的证明

lemondian

命题：$A,B,C$是圆锥曲线上的三点，且在点$A$处的切线斜率为$k$，则直线$AB,AC$的斜率之和为0的充要条件是直线$BC$的斜率为$-k$。



请问如何证明充分性？

lemondian

请各位大神帮帮忙吧

Tesla35

只证了抛物线的。
抛物线$y^2=2px$,$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$.

$A$点切线斜率$k=\frac{p}{y_1}$.

点差法：
$k_{AB}=\frac{2p}{y_1+y_2},k_{AC}=\frac{2p}{y_1+y_3},k_{BC}=\frac{2p}{y_2+y_3}$.

若$k_{BC}=-k$,则$\frac{2p}{y_2+y_3}=-\frac{p}{y_1}$,有$y_2+y_3=-2y_1$.

此时$k_{AB}+k_{AC}=\frac{2p}{y_1+y_2}+\frac{2p}{y_1+y_3}=\frac{2p(2y_1+y_2+y_3)}{(y_1+y_2)(y_1+y_3)}=0$.