a,b,c＞0 ，证明 (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)≥2+2(a+b+c)/(abc)^(1/3)

TSC999

① 已知 \(a,b,c>0\) ，证明不等式：\((1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\ge2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})\)

② 已知 \(a,b,c>0\) ，证明不等式：\((1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})\ge2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})\)


撸题集上有没有这题？

kuing

两个不等式实际上是同一个不等式。

由均值有
\[\frac ab+\frac ab+\frac bc\geqslant3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}},\]
同理有另外两式，三式相加后约去 3 即得
\[\sum\frac ab\geqslant\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}},\]
同理
\[\sum\frac ba\geqslant\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}},\]
所以
\[2+\sum\frac ab+\sum\frac ba\geqslant2+2\cdot\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}},\]
即
\[\prod\left( 1+\frac ab \right)\geqslant2\left( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right).\]

TSC999

yao4015

\[
\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}
\geq \frac{2a}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{2b}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{2c}{\sqrt[3]{abc}}
\]
注意到，$(1,0,-1)\succeq  (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$. 所以上面的不等式仅仅是
Muirhead 不等式的特例而已。

hbghlyj

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