数论小题

大佬最帅

tommywong

仲未做到，宜家知道至少整除$4k^2$

$(2k-1)^{2k+1}+(2k-1)^2(2k+1)^{2k+1}-(2k-1)^{2k+1}-(2k+1)^{2k-1}$
$=[(2k-1)^2 (2k+1)^2-1](2k+1)^{2k-1}$
$=8k^2(2k^2-1)(2k+1)^{2k-1}$

$\gcd(\left(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},~(2k-1)^{2k+1}+(2k+1)^{2k-1}\right)$
$=\gcd(\left(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},~8k^2(2k^2-1)(2k+1)^{2k-1}\right)$

$\gcd(\left(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},~2k+1\right)$
$=\gcd(\left(2k-1)^{2k-1},~2k+1\right)$
$=\gcd(2^{2k-1},~2k+1)=1$

$(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1}$
$\displaystyle =\sum_{n=0}^{2k+1}\binom{2k+1}{n}(2k)^n
-\sum_{n=0}^{2k-1}\binom{2k-1}{n}(-2k)^n$
$\displaystyle =8k^2+\sum_{n=2}^{2k+1}\binom{2k+1}{n}(2k)^n
-\sum_{n=2}^{2k-1}\binom{2k-1}{n}(-2k)^n$
$\displaystyle =4k^2+16k^3+\sum_{n=3}^{2k+1}\binom{2k+1}{n}(2k)^n
-\sum_{n=3}^{2k-1}\binom{2k-1}{n}(-2k)^n$

$\gcd(\left(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},~8k^2\right)
=4k^2$

仲淨$\gcd(\left(2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},~2k^2-1\right)$
如果佢哋互質就證明到係$4k^2$

tommywong

有反例$k=14$
$17\mid 27^{27}+29^{29},~27^{29}+29^{27}$
artofproblemsolving.com/community/c6h2805668p24734479