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战巡
Posted 2022-6-13 14:55
（1）、
明显是5-连续的，但不是6-连续，因为6就无法表示
（2）、
首先这样连续表示，$k$个数的数列，最多也就能表示
\[1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}\]
个数
这里$k=3$时，总共也就
\[\frac{3(3+1)}{2}=6<8\]
明摆着是不行的，而$k=4$是可以的，随便举个例子就完事了，比如
\[1,2,4,1\]
（3）、
按照前面的结果，要想表示到$20$，起码要$k=6$，此时能表示$\frac{k(k+1)}{2}=21$个数
要证明$k\ge 7$，只要证明$k=6$不行就行了，至于$k=7$行不行，其实无所谓，毕竟最终即便需要$k>7$，也算完成了$k\ge 7$的证明
这里面既然$a_1+a_2+...+a_k<20$，说明里面至少得有一部分，即$a_i+a_{i+1}+...+a_{i+j}=20$，于是说明
\[a_1+...+a_{i-1}+a_{i+j+1}+...+a_k<0\]
简单的说，就是里面有负项
假设$k=6$能成立好了，此时需要能表示$20$个数，但这里面有负项，假设$a_p<0,p\in\{1,2,3,4,5,6\}$，那么$a_p$本身肯定不能表示$\{1,2,...,20\}$这里面的数，也就是说，总共21个能表示的数，还得去掉$a_p$这个不可能的东西，剩下$20$个满打满算全得用上，一个也不能浪费，意味着这$20$个数要全部在$\{1,2,...,20\}$以内，且不能重复
这样首先就可以知道只能有一个负项，假设有第二个，立马就只剩$19$个能用，必然没戏
其次，$a_p$相邻两侧的数，必须大于$-a_p$，因为必须有
\[a_{p-1}+a_p\mbox{和}a_p+a_{p+1}\in\{1,2,...,20\}\]
说明
\[a_{p-1}>-a_p,a_{p+1}>-a_p\]
那么假设$p\in\{2,3,4,5\}$，且假设$a_i+...+a_{i+j}=20$，则显然$a_p$不会在其中，而且作为唯一的负项，一定会有$p=i-1$或者$p=i+j+1$，因为如果旁边还是正项的话，再加可就超过$20$了，肯定不行的
这里假设$p=i+j+1$好了，另一种情况也一样的，不演示了
此时会有$a_1+...+a_{1+j}=20$，注意$p+1\le 6$，说明$a_{p+1}$也是存在的，而且还有$a_p+a_{p+1}>0$，于是此时
\[a_1+...+a_{1+j}+a_p+a_{p+1}>20\]
没戏！
这就说明$a_p$必然是个边角项，$p=1,6$，具体是哪个其实无所谓，不失一般性直接假设$p=6$好了
此时必然有$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20$，且$a_1\ne a_2\ne a_3\ne a_4\ne a_5\in\{1,2,...,20\}$
另外还可以推出，必然会有$a_i\ne -a_6,i=1,2,3,4,5$，因为假设有$a_i=-a_6$，那么会出现
\[a_{i+1}+...+a_5=a_i+a_{i+1}+...+a_5+a_6\]
这就重复了，不可能做到满打满算刚好表示$20$个不同的数
那来看看它要怎么弄出$19$
一是$a_1=1$，二是$a_5=1$，三是$a_6=-1$
这里马上可否决$a_5=1$，因为需要$a_5+a_6>0$，$a_6$最大就$-1$了，你必须得有$a_5>-a_6=1$
那么假设$a_1=1$好了，此时
\[a_2+a_3+a_4+a_5=19\]
那怎么弄出$18$呢？前面说了$a_i$不能重复，你不能弄个$a_2$或$a_5=1$，那么只有$a_5=2$，或$a_6=-1$
这里又由于$a_i\ne-a_6$，说明$a_6=-1$不行，那只能$a_5=2$，然而$a_5=2$又根据$a_5+a_6>0$必然得到$a_6=-1$，总归是矛盾的，只能整个否决，$a_1\ne 1$
于是乎只能$a_6=-1$，此时有
\[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20\]
\[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=19\]
那还是刚才的问题，怎么弄出$18$呢？
只能$a_1=2$或$a_5=2$
假设$a_5=2$好了，此时
\[a_1+a_2+a_3+a_4=18\]
那咋弄出$17$呢？$a_1,a_4=1$都不成立，这个根本没法弄，只能拉倒
到这就已经出问题了，如果$a_5\ne 2$，那要怎么弄出$1$呢？要知道是不存在$a_i=-a_6=1$的，唯一弄出$1$的办法，是$a_5+a_6=1$，此时$a_5=2$ |
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