$a,b$是正整数,$(-a)×(-b)=ab$

hbghlyj

定义了整数的加法,和正整数的乘法以后,我们发现$⟨\mathbb{Z},+⟩$的自同构群由$f_a$和$f_{-a}$这两种映射组成:
对于任意正整数$a,n$,\begin{array}lf_{a}(n)=na&\text{(将正整数映射到正整数)}\\f_{a}(-n)=-na&\text{(将负整数映射到负整数)}\\f_{-a}(n)=-na&\text{(将正整数映射到负整数)}\\f_{-a}(-n)=na&\text{(将负整数映射到正整数)}\end{array}对于任意正整数$a,b,n$,考虑映射的复合:$$(f_{-a}∘f_{-b})(n)=f_{-a}(-nb)=nab$$$$(f_{-a}∘f_{-b})(-n)=f_{-a}(nb)=-nab$$所以$$f_{-a}∘f_{-b}=f_{ab}$$为了使$⟨\mathbb{Z}^*,×⟩≅\operatorname{Aut}(⟨\mathbb{Z},+⟩)$成立,我们可以定义$(-a)×(-b)=ab$.

色k

标题党？