直线与曲线三斜率及面积关系

lemondian

已知点$P(x_0,y_0)$在曲线$C:Ax^2+By^2=1$上，直线$l$交$C$于$M,N$两点，直线$PM,PN,MN$的斜率分别为$k_1,k_2,k_3$。
(1)求证：$k_3=\dfrac{A[(A-Bk_1k_2)x_0+B(k_1+k_2)y_0]}{B[(A-Bk_1k_2)y_0-A(k_1+k_2)x_0]}$;
（2）求证：$S_{\triangle PMN}=|\dfrac{2(k_1-k_2)(Ax_0+Bk_1y_0)(Ax_0+Bk_2y_0)}{(A+Bk_1^2)(A+Bk_2^2)}|$

lemondian

1#中,如果将曲线$C$改为抛物线$y^2=2px(p>0)$,那么两个结论又是什么呢？

kuing

无难度。

注意到平移不改变斜率及面积，故平移坐标系使 `P` 为原点，则曲线变为
\[A(x+x_0)^2+B(y+y_0)^2=1=Ax_0^2+By_0^2,\]
直线 `PM` 为 `y=k_1x`，代入解得
\[x_M=-\frac{2(Ax_0+Bk_1y_0)}{A+Bk_1^2},\]
同理
\[x_N=-\frac{2(Ax_0+Bk_2y_0)}{A+Bk_2^2},\]
则
\begin{align*}
k_3&=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\frac{k_1x_M-k_2x_N}{x_M-x_N},\\
\S{PMN}&=\frac12\abs{x_My_N-x_Ny_M}=\frac12\abs{(k_2-k_1)x_Mx_N},
\end{align*}
代入化简就是待证结论了。

抛物线自行完成。

lemondian

kuing 发表于 2022-6-20 15:22
无难度。

注意到平移不改变斜率及面积，故平移坐标系使 `P` 为原点，则曲线变为

谢谢kuing，果然是算法很重要，我用其它方法做，难算极了。
另外，对于抛物线的结论：是不是如下？
$k_3=\dfrac{k_1k_2p}{(k_1+k_2)p-k_1k_2y_0}$;
$S_{\triangle PMN}=|\dfrac{2(k_1-k_2)(p-k_1y_0)(p-k_2y_0)}{k_1^2k_2^2}|$

色k

lemondian 发表于 2022-6-22 09:12
谢谢kuing，果然是算法很重要，我用其它方法做，难算极了。
另外，对于抛物线的结论：是不是如下？
$k_3= ...

我没算，但方法肯定可以照搬，你自己算出来就行。

lemondian

色k 发表于 2022-6-22 17:26
我没算，但方法肯定可以照搬，你自己算出来就行。

算了两回，怕算错：居然与$x_0$无关？

kuing

lemondian 发表于 2022-6-22 23:36
算了两回，怕算错：居然与$x_0$无关？

什么啊，点在抛物线上，x0 由 y0 所确定啊…………

lemondian

kuing 发表于 2022-6-23 00:29
什么啊，点在抛物线上，x0 由 y0 所确定啊…………

呵呵，我表达得不清楚，我的意思是：式子没有含$x_0$.

另外，在条件下，面积有没有最值呢？