求这个式子的取值范围

babyqq

如图 有啥简便做法吗

战巡

\[[2x+\sqrt{2-2x^2}]a\ge x-3x^3\]
\[a\ge\frac{x-3x^3}{2x+\sqrt{2-2x^2}}\]
\[\frac{d}{dx}\frac{x-3x^3}{2x+\sqrt{2-2x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{2-2x^2}}-2x=0\]
注意范围$0<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得
\[x=\sqrt{\frac{1}{6}(3-\sqrt{6})}\]
不难证明这玩意是极大值，会有
\[\frac{x-3x^3}{2x+\sqrt{2-2x^2}}\]
在$x=\sqrt{\frac{1}{6}(3-\sqrt{6})}$取得极大值，为
\[\frac{x-3x^3}{2x+\sqrt{2-2x^2}}\le \frac{1}{4}(\sqrt{6}-2)\]
这就是$a$的最小值了，即
\[a\ge\frac{1}{4}(\sqrt{6}-2)\]

babyqq

那个x＝。。。怎么解

babyqq

战巡 发表于 2022-7-1 17:40
\[[2x+\sqrt{2-2x^2}]a\ge x-3x^3\]
\[a\ge\frac{x-3x^3}{2x+\sqrt{2-2x^2}}\]
\[\frac{d}{dx}\frac{x-3x^3 ...

那个x怎么解啊

战巡

babyqq 发表于 2022-7-1 17:58
那个x怎么解啊

.......这还要问啊？？

\[\frac{1-2x^2}{\sqrt{2-2x^2}}-2x=0\]
\[1-2x^2=2x\sqrt{2-2x^2}\]
\[(1-2x^2)^2=4x^2(2-2x^2)\]
后面变成与$x^2$相关的二次方程了