函数 $f(x)=\mathrm e^x$与 $g(x)=\ln x$ 最短距离

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源自知乎提问






题：点 $A$ 在 $f(x)=\mathrm e^x$ 图象上，点 $B$ 在 $g(x)=\ln x$ 的图象上，则 $|AB|$ 最小值为______.




引理：当 $x\in \mathrm R$， $\mathrm e^x\geqslant x+1$ 当且仅当 $x=0$ 时取得等号. (求导即证.)


记 $f(x)$ 上任一点 $A(x_1,\mathrm e^{x_1})$，则有 $\mathrm e^{x_1}\geqslant x_1+1$.

$g(x)$ 上任一点 $B(x_2,\ln x_2)$，则有 $\mathrm e^{\ln x_2}\geqslant \ln x_2+1$ 即 $\ln x_2\leqslant x_2-1$.

从而知 $\mathrm e^{x_1}-\ln x_2\geqslant x_1-x_2+2$.



于是，当 $x_1-x_2+2\geqslant 0$ 时

\begin{align*} |AB|^2&=(x_1-x_2)^2+(\mathrm e^{x_1}-\ln x_2)^2\\[1em] &\geqslant (x_1-x_2)^2+(x_1-x_2+2)^2\\[1em] &=2(x_1-x_2+1)^2+2\\[1em] &\geqslant 2,\\[1em] \Rightarrow &|AB|\geqslant \sqrt 2.  \end{align*}

两次取“$=$”时 $x_1=0,\ln x_2=0,$ $x_1-x_2+1=0$ 即 $A(0,1),B(1,0).$

当 $x_1-x_2+2<0$ 即 $x_2-x_1>2$ 时

\begin{align*} |AB|^2&=(x_1-x_2)^2+(\mathrm e^{x_1}-\ln x_2)^2>4\\[1em]  \Rightarrow &|AB|>2>\sqrt 2.  \end{align*}

综上知 $|AB|_{\min}=\sqrt 2.$

kuing

既然是对称的，怎么不利用一下对称轴？

设 `A(x,e^x)` 到 `y=x` 的距离为 `a`，则
\[a=(e^x-x)\sin45\du\geqslant\frac{\sqrt2}2,\]
同理 `B` 到 `y=x` 的距离为 `b` 也有 `b\geqslant\frac{\sqrt2}2`，而 `A`, `B` 在 `y=x` 两侧所以 `AB\geqslant a+b\geqslant\sqrt2`。