求圆心距的最小值

isee

如图所示，两外切圆$\odot O_1,\odot O_2$均与$\mathrm {Rt}\triangle ABC$的斜边$AB$相切且两直角边分别与两圆相切，若$a=4$，$b=3$，求两圆心距$O_1O_2$的最小值.

Tesla35

$2x+2\sqrt{xy}+3y=5$,求$x+y$的最小值.

因为
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+\frac{\sqrt{5}-1}{2}y\geqslant2\sqrt{xy}$.

所以
$5=2x+2\sqrt{xy}+3y\leqslant2x+3y+\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+\frac{\sqrt{5}-1}{2}y=\frac{\sqrt{5}+5}{2}(x+y)$

解得$x+y\geqslant\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

isee

Tesla35 发表于 2022-7-5 00:36
$2x+2\sqrt{xy}+3y=5$,求$x+y$的最小值.

因为

秒了秒了，此时$y=1$正好是三角形$ABC$的内切圆

kuing

isee 发表于 2022-7-5 00:43
秒了秒了，此时$y=1$正好是三角形$ABC$的内切圆

“正好是内切圆”那是真的巧合，换别的边长比就不是了。

isee

kuing 发表于 2022-7-5 14:32
“正好是内切圆”那是真的巧合，换别的边长比就不是了。

巧得没谱了~