怎么证明它是无理数 求思路

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hbghlyj

二元情形: 对$a,b∈\Bbb R$,若$ab-a,ab-b$均为奇数,则$a,b$均为无理数.
证明: $ab-a,ab-b$均为奇数 $⇒a-b$为偶数. 设$a-b=2n,n∈\Bbb Z$.
$ab-a=a(b-1)=(b+2n)(b-1)=b^2+(2n-1)b-2n$. 设$ab-a=2m+1,m∈\Bbb Z$.
$b^2+(2n-1)b-2n=2m+1⇒b=\frac 12 (±\sqrt{8 m + 4 n^2 + 4 n + 5} - 2 n + 1)$.
$8 m + 4 n^2 + 4 n + 5\equiv5\pmod8$,所以不是完全平方数,所以$b$为无理数.

接下来对$n$归纳就可以了
$P-x_1,\dots,P-x_{n-1}$为奇数推出$P-x_1\dots x_{n-1}$为奇数,用二元情形

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hbghlyj 发表于 2022-7-7 23:57
二元情形: 对$a,b∈\Bbb R$,若$ab-a,ab-b$均为奇数,则$a,b$均为无理数.
证明: $ab-a,ab-b$均为奇数 $⇒a-b$ ...

接下来可以这样吗，令b=
b为无理数则x1,x2...xn均为无理数

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hbghlyj 发表于 2022-7-7 23:57
二元情形: 对$a,b∈\Bbb R$,若$ab-a,ab-b$均为奇数,则$a,b$均为无理数.
证明: $ab-a,ab-b$均为奇数 $⇒a-b$ ...

为啥mo8余5 不是mod4吗

河北高二学生

hbghlyj 发表于 2022-7-8 16:30
$$8 m\equiv0\pmod8$$
$$4n(n+1)\equiv0\pmod8$$

那如何判断是否是完全平方呢

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hbghlyj 发表于 2022-7-8 18:23
本帖最后由 hbghlyj 于 2022-7-8 11:42 编辑

2#用的是

设的2n-1不好观察啊

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hbghlyj 发表于 2022-7-8 18:23
本帖最后由 hbghlyj 于 2022-7-8 11:42 编辑

2#用的是

根号下面余数4，但是上面结论是判断平方数的必要不充分条件，所以设奇数是2k-1推不出来？