如何判断是不是完全平方数

河北高二学生

如果x,y为整数，4x+4y+1≡1(mod4) 但是若x=1,y=1，则4x+4y+1=9是完全平方数
这个如何判断呢

isee

同楼上，请上原题

河北高二学生

isee 发表于 2022-7-9 08:39
同楼上，请上原题

为什么设奇数2k+1不是2k-1

证明：奇数可以表示为 $2 \mathrm{k}+1$ ，从而
奇数 ${ }^2=4 k^2+4 k+1=4 k \quad(k+1)+1$ ．
因为两个连续正整数 $k, k+1$ 中必有偶数，所以 $4 k$（ $k$
奇数 ${ }^2=8 t+1 \equiv 1(\bmod 8)$ ，
偶数 ${ }^2=(2 \mathrm{k})^2=4 \mathrm{k}^2(\mathrm{k}$ 为正整数）．
（1）若 $k=$ 偶数 $=2 t$ ，则 $4 \mathrm{k}^2=16 \mathrm{t}^2 \equiv 0(\bmod 8)$ ．
（2）若 $k=$ 奇数 $=2 t+1$ ，则 $4 k^2=4(2 t+1)^2=16\left(t^2+t^{\prime}\right.$
$0(\bmod 8)$
所以，平均数 $\equiv 1(\bmod 8)$ ，
$4(\bmod 8)$
即任意平方数除以 8 余数为 $0,1,4$ ．

isee

河北高二学生 发表于 2022-7-9 19:19
为什么设奇数2k+1不是2k-1

没区别，形式上不一样而已.

河北高二学生

isee 发表于 2022-7-9 20:44
没区别，形式上不一样而已.

但是这道题设奇数2k-1不好观察啊
设 $x_i \in R, P=x_1 x_2 \cdots x_n$ ，
若 $P-x_i$ 为奇数，$i=1, \cdots, n$ ，证明：$x_1, \cdots, x_n$ 为无理数
二元情形：对 $a, b \in \mathbb{R}$ ，若 $a b-a, a b-b$ 均为奇数，则 $a, b$ 均为无理数．
证明：$a b-a, a b-b$ 均为奇数 $\Rightarrow a-b$ 为偶数．设

\[
\begin{aligned}
& a-b=2 n, n \in \mathbb{Z} \\
& a b-a=a(b-1)=(b+2 n)(b-1)=b^2+(2 n-1) b-2 n \\
& \text { 设 } a b-a=2 m+1, m \in \mathbb{Z} \text {. } \\
& b^2+(2 n-1) b-2 n=2 m+1 \Rightarrow b=\frac{1}{2}\left( \pm \sqrt{8 m+4 n^2+4 n+5}-2 n+1\right)
\end{aligned}
\]

$8 m+4 n^2+4 n+5 \equiv 5(\bmod 8)$ ，所以不是完全平方数，所以 $b$ 为无理数．

\[
\begin{aligned}
& \because a-b=(a b-b)-(a b-a)=\text {偶 设 } a-b=2 n, n\inZ \\
& \therefore a=b+2 n \quad \therefore(b+2 n) b-b=2 k-1 . \quad b^2+(2 n-1) b+1-2 k=0 \\
& \therefore b=\frac{1-2 n \pm \sqrt{4 n^2-4 n-4+8 k}}{2}=
\end{aligned}
\]

河北高二学生

isee 发表于 2022-7-9 20:44
没区别，形式上不一样而已.

这题如果设2k-1怎么做啊