最后没手算用计算器了

isee

源自知乎提问




题：比较大小 $54\sum_{k=1}^{2023}\left(\frac 1{55^k-1}+\frac 1{55^{2024}-1}\right)$ 与 $\frac {55}{54}$.


——原来题主是要比较 $\frac 1{55^{2024}-1}+54\sum_{k=1}^{2023}\frac 1{55^k-1}$ 与 $\frac {55}{54}$.





首先要注意到 $\frac {54\times 2023}{55^{2024}-1}$ 是非常非常非常接近零的数，以下过程中随手放成 $\frac {54\times 2023}{55^{2024}-1}<\frac 1{55^3-1}$. （注：放成 $\frac 1{55^2-1}$ 不够.） 其实可以不算之……

于是

\begin{align*} &\quad\;54\sum_{k=1}^{2023}\left(\frac 1{55^k-1}+\frac 1{55^{2024}-1}\right)\\[1em] &=54\sum_{k=1}^{2023}\frac 1{55^k-1}+54\sum_{k=1}^{2023}\frac {1}{55^{2024}-1}\\[1em] &=\frac {54\times 2023}{55^{2023}-1}+54\sum_{k=1}^{2023}\frac 1{55^k-1}\\[1em] &=\frac {54\times 2023}{55^{2023}-1}+1+\frac {54}{55^2-1}+54\sum_{k=3}^{2023}\frac 1{55^k-1}\\[1em] &<\frac {1}{55^3-1}+1+\frac {54}{55^2-1}+54\sum_{k=3}^{\color{blue}{2023}}\frac 1{54^k}\\[1em] &<\frac {1}{55^3-1}+1+\frac {54}{55^2-1}+54\sum_{k=3}^{\color{blue}{\infty}}\frac 1{54^k}\\[1em] &=\frac {1}{55^3-1}+1+\frac {54}{55^2-1}+54\cdot \frac {\frac 1{54^3}}{1-\frac 1{54}}\\[1em] &=\frac {1}{55^3-1}+1+\frac {54}{55^2-1}+\frac {1}{54^2-54}\\[1em] {}\xlongequal[\small\text{计算器}]{\small\text{微软自带}}&=1.018\color{red}2125594214599867016075916641\\[1em] &<\frac {55}{54}(=1.018\color{red}5185185185185185185185185185) \end{align*}

kuing

原题并没有括号，你怎么自己乱加……

isee

kuing 发表于 2022-7-9 22:46
原题并没有括号，你怎么自己乱加……

这个其实我考虑到了的，没加括号时，严格上讲略有歧义，后来想了想加括号更好看些~（反正那个尾巴真算的时候，压根不用算）

kuing

isee 发表于 2022-7-10 00:17
这个其实我考虑到了的，没加括号时，严格上讲略有歧义，后来想了想加括号更好看些~（反正那个尾巴真算的 ...

为方便码字，记 `m=54`, `n=2023`。

和式保留前两项，从第三项起利用
\[(m+1)^k-1=m\bigl((m+1)^{k-1}+(m+1)^{k-2}+\cdots+1\bigr)>m(m+1)^{k-1}\]
放成等比，有
\begin{align*}
54\sum_{k=1}^{2023}\frac1{55^k-1}&=m\sum_{k=1}^n\frac1{(m+1)^k-1}\\
&=1+\frac1{m+2}+\frac m{(m+1)^3-1}+\frac m{(m+1)^4-1}+\cdots+\frac m{(m+1)^n-1}\\
&<1+\frac1{m+2}+\frac1{(m+1)^2}+\frac1{(m+1)^3}+\cdots+\frac1{(m+1)^{n-1}}\\
&<1+\frac1{m+2}+\frac1{m(m+1)}\\
&=1+\frac1m-\frac1{(m+1)(m+2)},
\end{align*}
即便按楼主加括号，那就是只需证明
\[\frac1{(m+1)(m+2)}>\frac{mn}{(m+1)^{n+1}-1},\]
的确不是一个数量级……