求证存在$\{G_{\alpha}\}$的一个可数子集也能覆盖$X$。

abababa

距离空间$X$存在一个可数稠密子集$\{x_n\}$，且$X$能被$\{G_{\alpha}\}$覆盖，求证存在$\{G_{\alpha}\}$的一个可数子集也能覆盖$X$。

我证明了当$\{G_{\alpha}\}$是开覆盖时的情况：
因为$X\subseteq\bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$，所以对任意的$x\in X$都存在某个$G_{\alpha}$使得$x\in G_{\alpha}$，当$G_{\alpha}$是开集时$x$是它的内点，所以存在开球$B(x,r)\subseteq G_{\alpha}$。由于$\{x_n\}$在$X$中稠密而$x\in X$，所以$x$能被$\{x_n\}$中的点逼近，即存在$x_k\in \{x_n\}$使得$d(x,x_k)<r/10$。

选择数$r'$满足$r/10<r'<r/2$。对任意的$y\in B(x_k,r')$，由于$d(y,x)\le d(y,x_k)+d(x_k,x)<r'+r/10<r$，因此$y\in B(x,r)$，由$y$的任意性有$B(x_k,r')\subseteq B(x,r)$。而由$d(x,x_k)<r/10<r'$有$x\in B(x_k,r')$，于是对任意的$x\in X$都存在$x_k$使得
\[x\in B(x_k,r')\subseteq B(x,r)\subseteq G_{\alpha}\]
由$x$的任意性知$X$能被$\{B(x_k,r')\}$覆盖，显然$\{x_k\}$是$\{x_n\}$的子集，因此是可数（有限）集，从而$\{B(x_k,r')\}$也是可数集。显然每个$B(x_k,r')$包含于一个$G_{\alpha_k}$，于是命题成立。

当$G_{\alpha}$不一定是开集时，要怎么证明呢？

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/958471/lindel%C3%B6fs-covering-theorem

abababa

hbghlyj 发表于 2022-7-17 03:33
https://math.stackexchange.com/questions/958471/lindel%C3%B6fs-covering-theorem

你这个不一样吧？首先你这个集合$X=\mathbb{R}^n$，它是有限维空间，和主楼的空间不一样，其次你这帖里的那个覆盖也是开覆盖，和主楼里我证明的情况是一样的，但主楼里的覆盖没要求是开覆盖。

Czhang271828

$X=\mathbb R$, $G_\alpha =\{\alpha\}$, 则 $\{G_\alpha\}_{\alpha\in \mathbb R}$ 覆盖 $X$.

abababa

Czhang271828 发表于 2022-7-22 16:03
$X=\mathbb R$, $G_\alpha =\{\alpha\}$, 则 $\{G_\alpha\}_{\alpha\in \mathbb R}$ 覆盖 $X$.

原来如此，闭覆盖就不一定能有限覆盖了。谢谢。