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看看这个行不行，用的想法是和maven一样的。先证明一个命题：
设$A,B$都是$\mathbb{R}$的子集且$\inf B>\sup A$，序列$\{x_n\}\subseteq A\cup B$且满足$\liminf_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=0$或$\limsup_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=0$，则存在$M$使得只要$n>M$就有：或者所有的$x_n$都属于$A$，或者所有的$x_n$都属于$B$。
证明：
令$\inf B-\sup A=c>0$。设$b_n=x_n-x_{n-1}$，由于$\liminf_{n\to\infty}b_n=0$或$\limsup_{n\to\infty}b_n=0$，因此对任意的$\varepsilon>0$都存在$N$，使得只要$n>N$就有：存在$\{b_n\}$的子序列$\{b_{n_k}\}$满足：只要$n>N$就有$b_{n_k}<0+\varepsilon$，特别地令$\varepsilon=\frac{c}{2}$，则存在$N$使得只要$n>N$就有$b_{n_k}<\frac{c}{2}$。
假设不存在这样的$M$，则对任意的$M$，特别地对$M>N$有：$x_N\in A$但$x_{N+1}\in B$，于是$\abs{x_{N}-x_{N+1}}\ge c$，于是它不存在子序列$\{b_{n_k}\}$满足$b_{n_k}<\frac{c}{2}$，矛盾。命题成立。
然后证明稠密。
对任意的$\alpha>H$，$\{x_n\}$中大于$\alpha$的至多有有限个，否则$\limsup_{n\to\infty}x_n=\alpha>H$，矛盾。同理对于$\beta<h$，$\{x_n\}$中小于$\beta$的也只有有限个。取$\{y_n\}=\{x_n\}\cap[\alpha,\beta]$，则$\{y_n\}$是无穷序列，且由于$\{x_n\} \setminus\{y_n\}$是有限集，因此$\{y_n\}$的上下极限与$\{x_n\}$的上下极限相同，为$H, h$。令$\alpha=h-\frac{\varepsilon}{2}, \beta=H+\frac{\varepsilon}{2}$。
假设存在$c\in[h,H]$不能用$y_n$逼近，则对任意的$\varepsilon>0$都存在$N$，使得只要$n>N$就有$y_n\not\in(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$。令$A=[\alpha,c-\varepsilon], B=[c+\varepsilon,\beta]$，应用上述命题就有：所有的$y_n$或者都属于$A$或者都属于$B$，不妨设都属于$A$，则
\[H=\limsup_{n \to \infty}y_n\le c-\varepsilon<H\]
矛盾，所以任意的$c\in[h,H]$都能用$\{y_n\}$中的元素逼近，也即能用$\{x_n\}$中的元素逼近，所以$\{x_n\}$在$[h,H]$中稠密。
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abababa
发表于 2022-7-19 10:17
