非零周期函数与增函数之积具备周期性吗?

APPSYZY

若定义在$\mathbb{R}$上的连续函数$f(x)\not\equiv0,g(x)$依次为周期函数和单调增函数，证明：$h(x)=f(x)g(x)$为非周期函数。

kuing

昨天的回复不对，重来一个：

看看能不能证明以下命题：
已知无穷数列 `\xn` 递增且等差，函数 `f(x)` 满足 `f(x_n)` 递增，则 `f(x)` 非周期函数。
（已被证伪，见 5# 链接）

APPSYZY

kuing 发表于 2022-7-23 16:57
昨天的回复不对，重来一个：
看看能不能证明以下命题：

假设这个命题是正确的，那么接下来如何利用这个命题去证明$y=x\sin x,y=x\cos x,y=x\tan x,y=x\cot x$不是周期函数呢？

kuing

APPSYZY 发表于 2022-7-26 13:46
假设这个命题是正确的，那么接下来如何利用这个命题去证明$y=x\sin x,y=x\cos x,y=x\tan x,y=x\cot x$不 ...

那就可以取 `x_n=\pi/4+2n\pi` 呗

APPSYZY

kuing 发表于 2022-7-26 14:03
那就可以取 `x_n=\pi/4+2n\pi` 呗

这里给了一个反例：zhihu.com/question/545391494/answer/2593425722

kuing

APPSYZY 发表于 2022-7-26 15:16
给了一个反例：www.zhihu.com/question/545391494/answer/2593425722

好吧

isee

kuing 发表于 2022-7-26 15:47
好吧

哈哈哈~

Czhang271828

逆否命题: $\mathbb R$ 上两个非常值的连续周期函数之商 $h/f$ 不可能为非常值的单调递增函数. 不失一般性地, 假设 $f$ 取值非负数.

自然得到下列信息 (有些似乎用不上):
1. 根据连续性, $h$ 与 $f$ 非常值时有最小正周期. 反之, 取任意使得 $h(x)\neq f(y)$ 的 $x,y\in \mathbb R$, 若 $f$ 没有最小正周期, $x$ 的任意小邻域内存在 $y'$ 使得 $f(y)=f(y')$, 从而与连续性矛盾.
2. 显然, $(T_f/T_h)\notin \mathbb Q$; 反之 $h/f$ 为周期函数, 与假定矛盾.
3. 根据一致连续性, $f$ 与 $h$ 有界.
4. 根据 $h/f$ 之单调性, $f=0$ 时必有 $h=0$.

取 $x\in [0,T_f)$ 使得 $f(x)> 0$, 再不妨设 $T_h=1$. 记 $a_n:=\{x+nT_f\}$, 其中 $\{\cdot\}$ 表示取小数部分. 注意到 $h(a_n)=f(x)\cdot (h/f)(x+nT_f)$ 随 $n$ 单调递增, 同时 $a_n$ 有收敛至 $0$ 的子序列. 从而单调函数 $h/f$ 存在极限 $\lim_{n\to\infty} (h/f)(a_n)= h(0)/f(x)$.

$\forall x_0\in(0,1)$, $a_n$ 有收敛至 $x_0$ 的子序列. 因此 $\lim_{n\to\infty} (h/f)(a_n)= h(x_0)/f(x)$, 即 $h$ 为常函数, 矛盾!