大佬帮忙看看第三问

人间风雪客

第三问，有没有好点的证明

exctttt

2022年天津卷最后一题
设公共点为 $(x_0,y_0)$
则 $e^{x_0}-a\sin x_0=b\sqrt{x_0}$
由 Cauchy 不等式知
$e^{x_0}=a\sin x_0+b\sqrt{x_0}\le\sqrt{(a^2+b^2)(\sin^2x_0+x_0)}$
欲证 $a^2+b^2>e$，只需证 $\dfrac{e^{2x_0}}{\sin^2x_0+x_0}>e$
这个不等式事实上对任意的 $x>0$ 均成立（显然 $x\ne0$）
随便放一下 $e^{2x-1}\ge2x>x+\sin^2x$
因此 $\dfrac{e^{2x}}{\sin^2x+x}>e$
得证

人间风雪客

exctttt 发表于 2022-10-4 00:09
2022年天津卷最后一题
设公共点为 $(x_0,y_0)$
则 $e^{x_0}-a\sin x_0=b\sqrt{x_0}$

谢谢