Chebyshev Polynomial, degree, upper bound
artofproblemsolving.com/community/c7h2230006_ … v_degree_upper_bound
math.stackexchange.com/questions/1643522/sqrt … e-1-for-all-x-in-1-1
90. 设 $P$ 是次数至多为 $n-1$ 的实系数多项式, 且满足
$$
\sqrt{1-x^2}|P(x)| \leq 1, x \in[-1,1]
$$
求证:
$$
|P(x)| \leq n, x \in[-1,1]
$$
证明设 $x_{j}=\cos \left(\frac{(2 j-1) \pi}{2 n}\right)$, 由插值公式我们有
$$
P(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(P\left(x_{j}\right) \cdot \prod_{j=1, j \neq i}^{n} \frac{\left(x-x_{j}\right)}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}\right)
$$
由于
$$
T_{n}(x)=\cos (n \arccos x)=2^{n-1}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)
$$
则
$$
T_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)=2^{n-1}\left(x_{i}-x_{1}\right)\left(x_{i}-x_{2}\right) \cdots\left(x_{i}-x_{n}\right)
$$
另外一方面
$$
T_{n}^{\prime}(x)=\frac{n}{\sqrt{1-x^{2}}} \sin (n \arccos x), \arccos x_{i}=\frac{(2 i-1) \pi}{2 n} \Longrightarrow \sin \left(n \arccos x_{i}\right)=\sin \frac{(2 i-1) \pi}{2}=(-1)^{i-1}
$$
故有
$$
P(x)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{1-x_{i}^{2}} \cdot P\left(x_{i}\right) \cdot \frac{T_{n}(x)}{x-x_{i}} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots(1)
$$
考虑这样的 $x$, 满足不等式 $x_{n} \leq x \leq x_{1}$, 注意到 $x_{n}=-x_{1}$, 故有
$$
\sqrt{1-x^{2}} \geq \sqrt{1-x_{1}^{2}}=\sin \frac{\pi}{2 n} \geq \frac{1}{n}
$$
另外我们考虑 $-1 \leq x<x_{k}$ 或 $x_{1}<x \leq 1$, 利用(1)有
$$
|P(x)| \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{T_{n}(x)}{x-x_{i}}
$$
注意到
$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{T_{n}(x)}{x-x_{i}}=T_{n}^{\prime}(x)=\frac{n \sin (n \arccos x)}{\sqrt{1-x^{2}}}=n \frac{\sin (n t)}{\sin t} \leq n^{2}
$$
91. 设 $b_{i} \in R$, 设 $f(x)=b_{1} \sin x+b_{2} \sin (2 x)+\cdots+b_{n} \sin (n x)$, 若
$$
|f(x)| \leq 1, x \in R
$$
求证:
$$
\left|(f(x))^{\prime}\right| \leq n, x \in R
$$
证明由于
$$
\sin (n x) \sin x=U_{n-1}(\cos x) \Longrightarrow \frac{f(x)}{\sin x}=P(\cos x)
$$
其中 $P$ 是次数为 $n-1$ 的整系数多项式. 由于
$$
|\sin x \cdot P(\cos x)| \leq 1, x \in R
$$
利用上面结论知:
$$
|P(x)| \leq n
$$
(2017年江苏无锡代数讲义试题解答.pdf 王永喜 page 40/51) | 
