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题目之所以难以表述, 是因为积分式给出一种定义域与值域均为函数之映射. 题主的问题是该映射的 $\mathrm{ker}$ (即 $0$ 函数的原像集) 是否包含非 $0$ 的函数.
如果需要看一下严谨的表述, 可以看看这段. 跳过也没事.
题中变换实际上构造了算子
$$
K:\quad \begin{align*}
&L^\infty(\mathbb R_+)\to L^\infty (\mathbb R_+), \\&\theta(x)\mapsto f(a)=\int_{\mathbb R_+}\theta(x)\cdot \dfrac{a\,\mathrm dx}{x^2+a^2}.
\end{align*}
$$
其中, $\theta \in L^\infty(\mathbb R_+)$ 若且仅若 $\exists M>0$, $\{x\in \mathbb R_+\mid |\theta(x)|>M\}$ 为零测度的. 其中一切满足条件的 $M$ 之下确界记为 $\mathrm{ess\,sup}|\theta|$.
例如 $\theta(x)=\dfrac{1}{x}\notin L^\infty(\mathbb R_+)$, $\theta(x)=\left\{\begin{align*}&x,&&x\in \mathbb Q,\\&0,&&x\notin\mathbb Q.\end{align*}\right.\in L^\infty(\mathbb R_+)$.
$L^\infty (\mathbb R_+)$ 在 $K$ 下的像一定含于 $L^\infty(\mathbb R_+)$. 任取 $\theta\in L^\infty(\mathbb R_+)$, 有
$$
|K(\theta)(a)|\leq \mathrm{ess\,sup}|\theta|\cdot \int_{(0,\infty)}\dfrac{a\,\mathrm dx}{x^2+a^2}=\dfrac{\pi }{2}\cdot \mathrm{ess\,sup}|\theta|.
$$
从而 $K$ 为 $L^\infty(\mathbb R_+)$ 到自身的范数为 $\dfrac{\pi}{2}$ 的线性算子.
若存在不同的 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 使得 $K(\theta_1)\equiv K(\theta_2)$, 等价于 $\mathrm{ker}(K)$ 非空. 从而原问题可以如此表述: 算子 $K$ 是否有非空的 $\mathrm{ker}$ ?
实际上, $K$ 是紧算子. 即对任意一致有界函数列 $\{\theta_n\}\subset L^\infty(\mathbb R_+)$, 总有子列 $\{\theta_{n_k}\}$ 使得 $\{K(\theta_{n_k})\}$ 收敛. 在 $L^\infty(\mathbb R_+)$ 范数下的一致有界性即 $\mathrm{ess\,sup}|\theta_m|$ 对任意 $m$ 均有一致上界. 此处只需证明 $\{K(\theta_n)\}$ 一致有界且等度连续.
1. 一致有界性显然, 因为 $K$ 本身就是有界算子.
2. 对任意 $m$ 与任意 $a\in \mathbb R_+$. 对任意 $\varepsilon >0$, 存在 $\delta >0$ 使得对任意 $a'\in B_\delta (a)\cap \mathbb R_+$, 总有
$$
\begin{align*}
&|K(\theta_m)(a)-K(\theta_m)(a')|\\
\leq &\int_{\mathbb R_+}|\theta(x)|\cdot \dfrac{|a-a'|\cdot |aa'-x^2|}{(a^2+x^2)(a'^2+x^2)}\mathrm dx\\
=&|a-a'|\cdot \dfrac{1}{a-\delta}\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot \mathrm{ess\,sup}|\theta_m|\\
\leq&\delta \cdot \dfrac{\pi/2}{a-\delta}\cdot\sup_m\mathrm{ess\,sup}|\theta_m|\\
\leq &\varepsilon .
\end{align*}
$$
最后一步只需取足够小的 $\delta $ 即可.
此外, $K$ 可视作子空间 $C(\mathbb R_+)\subset L^\infty(\mathbb R_+)$ 到自身的连续紧算子. 因此, 我们可以援用一个证明较为复杂的定理:
$C(\mathbb R_+)$ 上紧算子 $K$ 为单射的充分条件为 $\mathrm{span}\left\{\dfrac{a}{a^2+x^2}\right\}_{a\in \mathbb R_+}$ 在 $L^2(\mathbb R_+)$ 上稠密.
此题符合充分条件. 考虑 $\{\sin (ax)\}_{a\in \mathbb R_+}$ 在 $L^2(\mathbb R_+)$ 上的稠密性以及 Laplace 变换即可. |
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kuing
发表于 2022-8-2 13:37
abababa
发表于 2022-8-2 18:09
，因为看不懂。
