$x'-4\sqrt {y'}=2\sqrt{x'-y'}$，则 $x'$ 的取值

isee

源自知乎提问




题：已知实数 $x',y'$ 满足 $x'-4\sqrt {y'}=2\sqrt{x'-y'}$，则 $x'$ 的取值范围是____.


大约是约束条件太多吧，我也不会修正，不过，作一个置换

$\sqrt{x'-y'}=x$， $\sqrt {y'}=y$ 则 $x'=x^2+y^2$ ，于是题目等价变为

$x^2+y^2-2x-4y=0$， $x\geqslant 0,$ $y\geqslant 0$ ，求 $x^2+y^2$ 的取值范围.

其几何意义就非常明显了：第一象限内的圆（及坐标轴上的点）到原点的距离的平方，那摆明就是 $\{0\}\cup [4,20].$

kuing

这边也贴一份，写法也稍改了一下。（PS、你那评论不见了……

题：已知实数 `x`, `y` 满足 `x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}`，则 `x` 的取值范围是____。

由条件有
\begin{align*}
x&=4\sqrt y+2\sqrt{x-y}\leqslant\sqrt{(16+4)(y+x-y)}=\sqrt{20x},\\
x&=4\sqrt y+2\sqrt{x-y}\geqslant2\bigl( \sqrt y+\sqrt{x-y} \bigr)\geqslant2\sqrt{y+x-y}=2\sqrt x,
\end{align*}
所以
\[2\sqrt x\leqslant x\leqslant\sqrt{20x}\riff x=0~\text{或}~4\leqslant x\leqslant20.\]

其实这个解法未完成，我指的不单是取等条件未验证，严格来说还需要论证 [4,20] 内部都能取到。
因为如果不论证过，又怎知不会再出现另外的不等式挖掉中间的某个范围？
仅验证取等有时是不够的，正如上述若没发现第二个不等式，仅由第一个柯西得到 `x\leqslant\sqrt{20x}\riff0\leqslant x\leqslant20`，这里 0 和 20 都能取到，答案却不是 [0,20]。

isee

kuing 发表于 2022-8-3 01:00
题：已知实数 `x`, `y` 满足 `x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}`，则 `x` 的取值范围是____。

由条件有

还要继续学习啊~

kuing

isee 发表于 2022-8-3 01:20
还要继续学习啊~

主要是为了补充一些说明😉