底角的平分线问题

Ly-lie

(转自aops)
已知等腰$\triangle ABC$满足$AB=AC$,$P$是外接圆上劣弧$AB$的中点,$Q$是边$AC$的中点,$\odot (APQ)$与$AB$的第二个交点为$K$,设$\odot (APQ)$的圆心为$O$.
证明：$PO$与$KQ$的交点在$ \angle ABC $的平分线上.

乌贼

如图：
  设$ \triangle ABC $的外接圆圆心为$ O_1 $，$ H $为劣弧$ AC $的中点。只需证明$ BHD $三点共线即可。
  作$ QF\px BC $分别交$ PB、AB $于$ F、E $。有\[ \angle QFB=180\du -\angle PBC=\angle PAC \]即$ AQKFP $五点共圆，得\[ \angle KPO+\dfrac{1}{2}\angle POK=\angle KPO+\angle PAK=90\du =\angle EPA+\angle PAE=\angle FPE+\angle PAE \riff \angle EPO=\angle FPK=\angle EQK\]也就是$ EPDQ $四点共圆，易证$ EPHQ $四点共圆。所以$ EPDHQ $五点共圆。
    又\[ \angle POQ=2\angle PAQ=\angle PO_1C \riff \angle QPD=\angle CPO_1=\angle QHB\]综上
    $ BHD $三点共线

乌贼

乌贼 发表于 2022-8-5 22:55
如图：
  设$ \triangle ABC $的外接圆圆心为$ O_1 $，$ H $为劣弧$ AC $的中点。只需证明$ BHD $三点共线 ...

上楼是同一证法。再来个直接证法。
如图：
    作$ QF\px BC $交$ AP $延长线于$ F $，交$ AB $于$ E $，$ BF $交$ ABC $外接圆于$ H $，$ QK $交$ BF $于$ G $。由上楼知$ PDQE $四点共圆即\[ \angle PEF=\angle PDG \]又\[ \angle FPB=\angle ACB=\angle ABC=\angle FEB \]得$ FPEB $四点共圆且\[ \angle PFB=\angle PEB=90\du  \]\[ \angle PBF=\angle PEF=\angle PDG \]    即有$ PDBG $四点共圆
   同理\[ \angle AHF=\angle ACB=\angle AQF \]一样$ AQHF $四点共圆，有\[ \angle AQH=90\du \riff \angle PQH=\angle APO \]再有\[ \angle PHF=\angle PAB=\angle PQK \]就是$ PQGH $四点共圆，故\[ \angle PGF=\angle PQH=\angle APQ\riff \angle GPD=90\du \riff \angle GBD=90\du \riff AF\px BD\riff\angle ABD=\angle BAF \]也就是$ BD $平分$ \angle ABC $